专题13 相似三角形判定与性质的综合应用 类型1利用相似三角形求线段长 典例1 (四川攀枝花中考)如图，在矩形ABCD中,AB=6,AD=4,点E,F分别为BC,CD的中点,BF,DE相交于点G,过点E作EH∥CD,交BF于点H，则线段GH的长度是 ( ) A. B.1 C. D. 把所求线段转化到相似的三角形中，再利用相似三角形的对应边成比例求解.本题中,由EH∥CD可证得△EHG∽ ,从而得到比例式，进而求得GH的长度. 【答案】 变式训练》 1(安徽中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=12,点D在边BC上,点E在线段AD上,EF⊥AC于点F,EG⊥EF交AB于点G.若EF=EG,则CD的长为 ( ) A.3.6 B.4 C.4.8 D.5 类型2利用相似三角形求角的度数 典例2 如图,在△ABC中,AD⊥BC,且. 则∠BAC的度数为 . 相似三角形的对应角相等，利用此性质可以直接或进行等量代换后求得某角的度数.本题中，将等积式转化为等比式，证得△ADB∽ ,进而得到∠BAD= ，从而得到∠BAC的度数. 【答案】 变式训练》 2(湖南怀化鹤城期末)如图，在等腰三角形ABC中,AB=AC,D为CB延长线上一点,E为BC延长线上一点，且满足 (1)求证:△ADB∽△EAC; (2)若∠BAC=40°,求∠DAE的度数. 类型3利用相似三角形证明等积式或比例式 典例3 (贵州铜仁万山期末)如图，△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点,且BD=2AD,CE=2AE.求证: (1)△ADE∽△ABC; (2)DF·BF=EF·CF. 根据要证明的等积式或比例式确定出线段所在的三角形(有时需要先进行等线段之间的代换)，再利用相似三角形的判定及性质进行证明.本题(2)中，由DF·BF=EF·CF确定出要证明 ∽△CBF. 【规范解答】 变式训练 3 如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E为AC的中点，ED，CB的延长线交于点F.求证： 4(四川凉山州中考)如图,∠ABD=∠BCD=90°,DB平分∠ADC,过点B作BM∥CD交AD于M,连接CM交DB于N. (1)求证: (2)若CD=6,AD=8,求MN的长. 类型4 利用相似三角形求图形面积比 典例4 (四川巴中中考)如图,在 ABCD中,F为BC的中点,延长AD至E,使DE:AD=1:3,连接EF交DC于点G,则S△DEC:S△CFC= A.2:3 B.3:2 C.9:4 D.4:9 根据所求面积比找到对应的三角形，若两三角形相似，则面积比等于相似比的平方；若两三角形等底(等高)，则面积比等于高(底)的比.本题易证得△DEG∽△CFG,相似比为 ，从而得到两三角形的面积比. 【答案】 变式训练 5 如图,DE是△ABC的中位线,M是DE的中点,CM的延长线交AB于点N,求S△DMN:S△CEM的值. 类型5利用相似三角形求点的坐标 典例5如图,在直角坐标系xOy中,A(-4,0),B(0,2),连接AB并延长到C,连接CO,若△COB∽△CAO,则点C的坐标为 ( ) 由相似三角形的性质得到某些等量关系，结合已知条件可求得点的坐标.本题中,由△COB∽△CAO,可得 作CD⊥y轴,垂足为D,则△CDB∽ ,得到CD，BD的长，从而求得C的坐标. 【答案】 变式训练》 6 如图，已知直线 2与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上有一点C(不与A重合)，使B，O，C三点构成的三角形与△AOB相似，则点C的坐标为 专题13 相似三角形判定与性质的综合应用 典例1 △DFG 【答案】A 解析:∵四边形ABCD是矩形,∴DC=AB=6,BC=AD=4,∠C=90°.∵点E,F分别为BC,CD的中点,∴DF=CF= DC=3,CE=BE= BC=2. ∵EH∥CD,BE=CE,∴FH=BH, 由勾股定理，得 FH= BF= .∵EH∥CD,∴△EHG∽△DFG,∴EH=FHF, 解得 故选A. 变式训练 1. B 解析:如图,作DH∥EG交AB于点H,则△AEG∽ ∵EF⊥AC,∠C=90°,∴∠EFA=∠C=90°, ∴EF∥CD,∴△AEF∽△ADC,∴△EB=CD,∴ECFCFFD ∵EG=EF,∴DH=CD.设DH=x,则CD=x. ∵BC=12,∴BD=12-x. ∵EF⊥AC,EF⊥EG,AC∥EG, ∴EG∥AC∥DH,∴△BDH∽△BCA, 即 解得x=4,∴CD=4. 典例2 △CDA ∠C 【答案】90° 解析:∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠CDA=90°, ∴∠C+ ,∴∠BAD=∠C, ∴∠BAD+∠CAD=90°,即∠BAC=90°. 变式训练 2.解:(1)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ABD=∠ACE ... ...
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