第四章 微专题4　数列的重构问题（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）选择性必修 第二册

微专题4　数列的重构问题 典例剖析素养初现 探究1　公共项问题 例1　(1) (2025·泰安期末)已知两个等差数列1，3，5，7，9，…，99和2，5，8，11，…，101，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为(B　) A. 750　 B. 800 C. 850　 D. 832 【解析】数列1，3，5，7，9，…，99是首项a1＝1，公差d1＝2的等差数列，其通项公式为an＝a1＋(n－1)d1＝1＋2(n－1)＝2n－1. 数列2，5，8，11，…，101是首项b1＝2，公差d2＝3的等差数列，其通项公式为bm＝b1＋(m－1)d2＝2＋3(m－1)＝3m－1.设an＝bm，即2n－1＝3m－1，化简可得2n＝3m.因为n，m为正整数，所以m必须是2的倍数，设m＝2t(t∈N*). 将m＝2t代入bm的通项公式，可得b2t＝3×2t－1＝6t－1，所以新数列的通项公式为ct＝6t－1. 当t＝1时，c1＝6×1－1＝5，所以新数列首项为5，新数列的公差d＝6.令ct≤99，即6t－1≤99，6t≤100，t≤≈16.67.因为t为正整数，所以t最大取16，即新数列有16项. 根据等差数列求和公式Sn＝，这里n＝16，c1＝5，c16＝6×16－1＝95，则S16＝＝800. (2) (多选)已知n，m∈N*，将数列{4n＋1}与数列{5m}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则(BC　) A. an＝5n B. an＝5n C. {an}的前n项和为 D. {an}的前n项和为 【解析】 令4n＋1＝5m(n，m∈N*)，所以n＝＝＝∈N*(m＝2，3，…)，当m＝1时，n＝1，所以数列{5m}为数列{4n＋1}的子数列，所以an＝5n(n＝1，2，3…)，所以{an}的前n项和为＝，故B，C正确，A，D错误． 在两个数列的公共项问题中，可以有两种方法： (1) 不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式； (2) 周期法：即寻找下一项，通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大(如公差的绝对值大)的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律(周期)，分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式． 探究2　增减项问题 例2　已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且3a2＋2a3＝S5＋6. (1) 若数列{Sn}为递减数列，求a1的取值范围； 【解答】设等差数列{an}的公差为d，因为3a2＋2a3＝S5＋6，所以3(a1＋d)＋2(a1＋2d)＝5a1＋10d＋6，解得d＝－2，所以Sn＝－n2＋(a1＋1)n.若数列{Sn}为递减数列，则Sn＋1－Sn＜0对于n∈N*恒成立，所以Sn＋1－Sn＝[－(n＋1)2＋(a1＋1)(n＋1)]－[－n2＋(a1＋1)·n]＝a1－2n＜0在n∈N*上恒成立，则a1＜2n，所以a1＜(2n)min.又(2n)min＝2×1＝2，所以a1＜2，故a1的取值范围为(－∞，2). (2) 若a1＝1，在数列{an}的第n项与第n＋1项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前n项，形成新数列{bn}，记数列{bn}的前n项和为Tn，求T95. 【解答】若a1＝1，则an＝1＋(n－1)×(－2)＝－2n＋3，根据题意，数列{bn}分组为第一组：1，20；第二组：－1，20，21；第三组：－3，20，21，22；…；第k组：－2k＋3，20，21，22，…，2k-1，则前k组一共有2＋3＋4＋…＋(k＋1)＝项．当k＝12时，项数为90，故T95相当于是前12组的和再加上－23，20，21，22，23这五项，即T95＝[1＋(－1)＋…＋(－21)]＋[20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋211)]＋(－23＋20＋21＋22＋23).设cn＝2n－1，则20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋211)可看成是数列{cn}的前12项和，所以T95＝＋－12－23＋1＋2＋4＋8＝213－142＝8 050. 探究3　计数问题 例3-1　(2024·常州期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋cn＋c，c∈R. (1) 求数列{an}的通项公式； 【解答】因为Sn＝n2＋cn＋c，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋cn＋c－(n－1)2－c(n－1)－c＝2n－1＋c.因为{an}为等差数列，故a1＝S1＝1＋2c也符合上式，所以1＋c＝1＋2c，所以c＝0，所以an＝2n－1. (2) 记bm为{an ... ...