第五章 函数 一、基础知识 (一)函数及其表示 1.函数的基本概念 (1)函数的定义 设是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作。 (2)函数的定义域、值域 在函数中，叫作自变量，的取值范围叫作函数的定义域；与的值相对应的值叫作函数值，函数值的集合叫作函数的值域。显然，值域是集合的子集。 (3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域。 如果两个函数的对应关系相同,定义域相同,那么这两个函数就是同一个函数。 2.函数的表示法 （1）表示函数的常用方法有解析法、图象法、列表法。 （2）在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式的函数叫作分段函数。 知识辨析： 1.函数中的对应关系是“一对一”或“多对一”,不能“一对多”。 2.任何函数都可以用解析法、列表法、图象法这三种方法表示吗 答：不是.如函数无法用列表法表示,也无法用图象法表示。 3.常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母不等于零， (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0。 (3)一次函数、二次函数的定义域为R。 (4)(且),，定义域均为。 (5)的定义域为且。 (6)函数的定义域为且。 (7)对数函数定义域为(0，+∞)。 4.求抽象函数的定义域 (1)求抽象函数的定义域的注意点 ①无论什么样的函数,定义域指的永远是自变量的取值范围. ②相同的对应关系所作用对象的范围是一致的,即函数中的在对应关系下的取值集合相同。 (2)抽象函数定义域的求解类型及方法 ①已知的定义域为,求的定义域,实质是已知的取值范围为,求的取值范围。 ②已知的定义域为,求的定义域,实质是已知的取值范围为,求的取值范围,此范围就是的定义域。 ③已知的定义域为求的定义域,实质是已知中的的取值范围为C,求出的取值范围D,再令的取值范围为,求出的取值范围,此范围就是的定义域。 5.函数值域的求法 (1)已知函数的解析式时,只需用常数替换解析式中的进行计算即可。 (2)已知函数与,求的值,应遵循由内到外的原则。 注意:用来替换解析式中的常数必须是函数定义域内的值,否则求值无意义。 6. 求函数值域的常用方法 (1)观察法:对于一些比较简单的函数,可根据其解析式的结构特征通过直接观察得到值域。 (2)图象法:画出函数的图象,利用函数图象的“最高点”和“最低点”直观得到函数的值域。 (3)配方法:此方法是求二次函数值域的基本方法,通常把函数式通过配方转化为完全平方式与常量和差的形式。例如。 (4)换元法：对于一些无理函数(如),通过换元把它们转化为熟悉的函数,间接求出原函数的值域,注意换元后新元的取值范围。 (5)分离常数法:主要针对形如的函数,常把分子分离成不含自变量的形式,即,其值域是。 (6)判别式法:将函数转化为关于自变量的二次方程,利用判别式求因变量的范围,常用于“分式函数”等,注意自变量的取值范围. (7)反表示法:将函数中的自变量用因变量表示,结合原函数的定义域解不等式,从而求出函数的值域。 (8)单调性法：先判断函数在定义域内的单调区间（递增 / 递减），再找到区间端点（或极限值），通过代入端点计算函数的最值（最大值 / 最小值），最终确定函数的值域范围。 7.函数解析式的求法 (1)当函数类型已知时,可采用“先设后求,待定系数”法来求其解析式.解题步骤如下: ①设出含有待定系数的解析式. ②把已知条件代入解析式,列出含待定系数的方程(组). ③解方程(组),得到待定系数的值. ④将所求待定系数的值代回原式并化简整理. (2)当函数类型未知时,可根据条件选择以下方法求其解析式. ①代入法：已知的解析式,求的解析式,通常把作为一个整体替换中的。 ②换元法：已知是关于的函数,求的解析式,通常令,由此能解出,将代入中,求得的解析式,再用替换,便可得到的解析式 ... ...
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