3.3垂径定理 【题型1】利用垂径定理求值 5 【题型2】利用垂径定理求平行弦问题 8 【题型3】垂径定理的推论 15 【题型4】垂径定理的实际应用 18 【知识点1】垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 1.（2025 福州校级模拟）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB=4，CD=1，则EC的长为（ ） A．B．C．D．4 【答案】B 【分析】连接BE，根据圆周角定理据可以得出∠ABE=90°，在△ACO中由垂径定理及勾股定理就可以求出AO的值，进而求出BE的值，根据勾股定理就可以求出CE的值． 【解答】解：连接BE， ∵AE是直径， ∴∠ABE=90°． ∵半径OD⊥弦AB， ∴∠ACO=90°，AC=AB． ∵AB=4， ∴AC=2． 设AO=x,则CO=x-1，在Rt△ACO中，由勾股定理，得 x2-（x-1）2=4， 解得：x=2.5， ∴AE=5． 在Rt△ABE中，由勾股定理，得 BE=3． 在Rt△BCE中，由勾股定理，得 CE=． 故选：B． 2.（2024秋 嵊州市期末）如图，⊙O的半径为5，点C是弦AB上一点，若AB=8，设OC=x,则x的取值范围是（ ） A．3≤x≤5B．3＜x≤5C．4≤x≤5D．4＜x≤5 【答案】A 【分析】当C与A或B重合时，OC最长，当OC垂直于AB时，OC最短，即可求出x的范围． 【解答】解： 当C与A（B）重合时，OC=x=5； 当OC垂直于AB时，可得出C为AB的中点， 在Rt△BOC中，OB=5，BC=AB=4， 根据勾股定理得：OC=x==3， 则x的范围为3≤x≤5． 故选：A． 【知识点2】垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 1.（2024秋 蓬江区期末）如图，筒车是我国古代发明的一种水力灌溉工具．圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦MN长为6m,半径为4m,则圆心O到弦MN所在直线的距离为（ ） A．4mB．5mC．mD．m 【答案】D 【分析】过点O作OC⊥MN于点C，根据垂径定理求出MC=MN=3m,再根据勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，过点O作OC⊥MN于点C， ∴MC=MN=3m, 在Rt△OCM中，OM=4m, ∴OC===（m）， 即圆心O到弦MN所在直线的距离为m, 故选：D． 2.（2024秋 老河口市校级期末）如图，在直径为82cm的圆柱形油槽内装有一些油以后，油面宽AB=80cm,则油的最大深度为（ ） A．32cmB．31cmC．9cmD．18cm 【答案】A 【分析】先连接OA，过点O作OC⊥AB，交⊙O于D，根据垂径定理，即可求得AC的值，然后在Rt△OAC中，利用勾股定理，即可求得OC的值，继而求得油的最大深度． 【解答】解：如图，过O作OC⊥AB于点C，并延长交⊙O于点D，连接OA， 依题意得CD就是油的最大深度， 根据垂径定理得：AC=AB=40cm,OA=41cm, 在Rt△OAC中，根据勾股定理得：OC===9（cm）， ∴CD=OD-OC=41-9=32（cm）， 故选：A． 【题型1】利用垂径定理求值 【典型例题】如图，把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则截面的半径等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设球的平面投影圆心为O，过点O作于点N，延长交于点M，连接，如图所示: 则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， ∴ 在中，由勾股定理得∶ ， 即∶， 解得∶, 即截面的半径长是． 故选∶C． 【举一反三1】要测一个残损圆形轮子的半径，小丽的方案如下：如 ... ...
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