4.5相似三角形的性质及其应用 【题型1】相似三角形对应角的角平分线、中线之比等于相似比 3 【题型2】相似三角形的周长之比等于相似比 4 【题型3】相似三角形的面积之比等于相似比的平方 6 【题型4】相似三角形的对应高线长之比等于相似比 7 【题型5】三角形的重心 9 【题型6】相似三角形性质的应用 10 【题型7】相似三角形判定与性质的综合 13 【题型8】相似三角形中的动点问题 16 【知识点1】相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 1.（2024秋 凤翔区期末）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连接AC、BC，在AC上取点E，使AE=3EC，作EF∥AB交BC于点F，量得EF=6m,则AB的长为（ ） A．30mB．24mC．18mD．12m 【答案】B 【分析】先由EF∥AB，得出△CEF∽△CAB，再根据相似三角形对应边成比例计算即可得解． 【解答】解：∵EF∥AB， ∴△CEF∽△CAB， ∴==， ∴AB=4EF=24m, 故选：B． 【知识点2】作图-相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示： （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 【题型1】相似三角形对应角的角平分线、中线之比等于相似比 【典型例题】如果两个相似三角形对应边之比是1∶4，那么它们的对应中线之比是( ) A. 1∶2 B. 1∶4 C. 1∶8 D. 1∶16 【答案】B 【解析】∵两个相似三角形对应边之比是1∶4，又∵相似三角形的对应高、中线、角平分线的比等于相似比，∴它们的对应中线之比为1∶4. 故选：B. 【举一反三1】如果两个相似三角形对应边的比是3∶4，那么它们的一组对应边上的中线之比是( ) A. 9∶16 B. 3∶7 C. 3∶4 D. 4∶3 【答案】C 【解析】∵两个相似三角形对应边的比为3∶4，∴它们的对应中线的比是3∶4. 故选：C. 【举一反三2】如果两个相似三角形相似比是1∶4，那么它们的对应角平分线之比是( ) A. 1∶4 B. 1∶8 C. 1∶16 D. 1∶2 【答案】A 【解析】∵两个相似三角形的相似比是1∶4，∴它们对应的角平分线之比是1∶4. 故选：A. 【举一反三3】如果两个相似三角形对应角平分线的比是4∶9，那么它们的周长比是_____． 【答案】4∶9 【解析】∵两个相似三角形对应角平分线的比是4∶9，∴它们的相似比为4∶9，∴它们的周长比为4∶9. 【举一反三4】△ABC∽△A′B′C′，，AB边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A′B′C′的面积是64cm2，求：A′B′边上的中线C′D′的长. 【答案】解：∵△ABC∽△A′B′C′，=，AB边上的中线CD＝4cm，∴＝， ∴C′D′＝4cm×2＝8cm，∴A′B′边上的中线C′D′的长为8cm. 【题型2】相似三角形的周长之比等于相似比 【典 ... ...
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