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课件网) 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式 题型觉醒 高频题型：题型一、题型四、题型五、题型七 题型一 比较大小＆判断不等式成立 1.（2025河南省实验中学月考）已知,都是正数,则“”是“ ”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【解析】 由题意可知当时，可取,，显然不能推出 ； 当时，且,，所以 ，（基本不等式的应用）即 ，解得 ， 所以“”是“ ”的必要不充分条件. . . 2.（2024江苏连云港期末）大招16已知, 都是正数,则下列关系正确的是( ) C A. B. C. D. 【解析】 对比【大招16】的基本不等式链知选项C正确. 由基本不等式可得,所以 , 因为,所以,所以,所以 . 综上可得, （用代数方法证明了基本不等式链）,当且仅当 时等号成立. . . 坑神小课堂 运用基本不等式及其变形时注意公式应用的条件： （1）若, <>,则,（当且仅当时取“ ”）； （2）若,,则,,（当且仅当时取“ ”）. 3.（多选/2025福建福州期中联考）下列结论正确的有( ) AD A.当时, B.当时, C.当时, D.当时, 【解析】 当时，，，（一正） （二定），所以 ， 当且仅当,即 时取等号；（三相等） ，当且仅当，即时取等号，又因为 （不满足“三相等”），故等号取不到； . . . . . . . . （配凑出乘积为定值的形式）,当且仅当，即 时等号成立； 当时，,，，当且仅当，即 时取等号. 坑神来避坑 若,则（当且仅当时取“”）；若,则 ,即 或（当且仅当或时取“ ”）. . . 当时，，，所以 题型二 直接求最值 4.（2025陕西西安期末）已知正数,满足,则 的最小值为( ) D A.2 B. C. D. 【解析】 积定求和最小，直接应用基本不等式即可.因为正数，满足 ，所以 ，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为 . 5.（2024黑龙江哈尔滨九中开学考试）大招16已知正实数,满足 ,则 的最大值是( ) B A.2 B. C. D. 【解析】 ,即,当且仅当 时等号成立,所以 的最大值为 . （平方升幂） ,当 且仅当时等号成立,即的最大值为2,所以的最大值为 . 由柯西不等式得 ,当且仅当 时等号成立,即的最大值为2,所以的最大值为 . . . 6.（2025重庆期末联考）已知,都是正实数,若,则 的最大值为__. 【解析】 满足和为定值，可直接利用基本不等式求解. ，可得，当且仅当，即, 时，取等号，所 以的最大值为 . 因为，当且仅当，即 , 时，取等号，所以的最大值为 . 题型三 多次利用基本不等式求最值 7.（2025天津红桥区期中）已知,,则 的最小值为( ) D A. B. C.4 D.2 【解析】 因为,，所以 ，当 且仅当，且 ，（连续两次使用基本不等式,注意取等条件应一致） 即,时，取等号，所以 的最小值为2. . . . . 8.（2024辽宁朝阳联考）已知,则 的最小值为___. 8 【解析】 由得,则 (第一次用基 本不等式：由消去),当且仅当即 时,等号成立. （第二次用基本不等式：求最值）,当且仅当即 时, 等号成立. 因此,当时（ 连续用基本不等式时注意同时取等号）, 取 得最小值8. . . . . . . 坑神有话说 连续应用基本不等式求最值时,要注意每一次等号成立的条件是否一致,若不能同时取等 号,连续用基本不等式是不可取的. 题型四 配凑定值 题组一 积定求和最值 9. （2025湖南湘潭期末）已知,则 的最小值为( ) C A.5 B.4 C.3 D.2 不为定值，但可配凑出定值，即将所求的和式“ ” 后由基本不等式求解即可. 【解析】 由题意得，（一正）则 ，（二定） 当且仅当，即时，等号成立.（三相等）故 的最小值为3. . . . . . . 10.若,则 的最小值为( ) B A.2 B.4 C.5 D.6 【解析】 方法一：二次比一次型,将分子向分母配凑.因为,所以 , ,所以 （分离变量得 积为定值）, 当且仅当,即时,等号成立,故 的最小值为4. 方法二：二次比一次型 ... ...
