(
课件网) 第二章 一元二次函数、方程和不等式 真题觉醒 考向一 解不等式 1.（2023新课标Ⅰ卷）已知集合,,0,1,,,则 ( ) C A.,,0, B. C. D.2 【解析】 ,即（十字相乘法分解因式）,解得 或 ,所以或,而,,0,1,,所以 . . . 2.（2022新高考Ⅱ卷）已知集合,1,2,,,则 ( ) B A., B. C. D., 【解析】 ,所以,解得,所以 ,故 . 3.（2024上海）已知,则不等式 的解集为_____. 【解析】 方程的解为或，故不等式 的解集 为 . 4.（2023全国乙卷节选改编）不等式 的解集为_____. 不等式含两个绝对值,由【大招20】知可利用零点分段法分解成三个不等式组, 再求并集. 【解析】 利用零点分段法得到 则不等式 可化为或 或无解,解②得,解③得,因此 ,所 以原不等式的解集为 . 考向二 基本不等式 5.（2022上海）若实数,满足 ,则下列不等式中恒成立的是( ) A A. B. C. D. 【解析】 因为,所以;（当且仅当 时取等号,因此 等号不成立） ,当且仅当,即 时等号成立 （ 可以成立）. . . 6.（浙江卷）设,,则“”是“ ”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 因为,,所以,当且仅当时等号成立,由 可 得,解得,所以充分性成立;当时,取,,满足 ,但 ,所以必要性不成立.所以“”是“ ”的充分不必要条件. 7.（多选/2022新高考Ⅱ卷）若,满足 ,则( ) BC A. B. C. D. 由【大招27】知要求的取值范围,需要先把 化成关于 与的式子,再利用建立关于的不等式;要求 的取值范围,需 利用建立关于 的不等式. 【解析】 由 （桥梁）得 ,即 , 当且仅当时等号成立, 所以 ; . . 由（桥梁）得,即 ,当且仅 当 时等号成立; 因为，所以 ,则 . 举反例:当, 时,,满足,但 . 从出发，注意到 ，可利用柯西不等式求解. . . 因为 注意代数式的变形，当且仅当,即时等号成立，所以 . 因为 ，所以 ，即 ， 当且仅当 时等号成立， 又 ，所以 ，即 ， 当且仅当 时等号成立. . . 8.（2021天津）若,,则 的最小值为_____. 【解析】 ,, （两次使用基本不等式,要保证等号同时成立）,当且仅当且,即 时 等号成立,的最小值为 . . . 9.（2020天津）已知,,且,则 的最小值为___. 4 【解析】 ,, , ,当且仅当 时取等号. 结合,解得,或, 时,等号成立. 的最小值为4. 当且仅当 时等号成立, 的最小值为4. 消元法，,,， 原式 ， 强基自招 1.（2024厦门大学强基计划）, ,若 ,则以下结论错误是( ) B A. B. C. D. 【解析】 由得，解得 ，所以 ， 因为， ， 设方程有两个实数根 ， ，如图，结合图象可知 且 ， 将代入方程得 ； 又因为 ，所以 ； . 2.（2024北京大学强基计划）上方程的解的个数为___. 表示不大于的最大整数 4 【解析】 由得，所以 ， 因为 ， 所以 得，解得或 ， 此时可能取值为1,2,10,11,12，分别代入计算可得,,,, ， 经检验 不符合题意，故方程的解有4个. 3.（2024厦门大学强基计划）,, ,则 的最大值为_____. 【解析】 不妨设 ， 则 因为 ， 利用基本不等式推得,即,即 ,两边开平方 可得 当且仅当 时取等号， . . 所以 ， 当且仅当,,时等号成立，所以 的最大值为 . 4.（2023南京大学强基计划）已知,,,则 的最小 值为_____. 【解析】 由柯西不等式可知 ,当且仅当 ,即 ,时,等号成立.故的最小值为 . 5.（2023全国中学生数学奥林匹克吉林预赛）若不等式 对满足 的正实数,,均成立,则实数 的最大值为_____. 【解析】 因为,,均为正实数,所以,所以 .又因为 , 当且仅当即即时等号成立,所以实数 的最大 值为 . 6.（2022上海交大强基计划） （1） 已知,则 的最小值为_____. 【解析】 ,, , ,当且仅当 即 即时等号成立.故的最小值为 . （2） 已知,,为正数,则 的最小值为___. 4 【解析】 分子分解可参考【大招19】待定 ... ...
