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课件网) 第四章 指数函数与对数函数 4.3 对数 题型觉醒 高频题型：题型一、题型二 题型一 指对互化及其应用 1.（多选/2025安徽淮南期中）下列四个命题: ；②若,则；； . 其中为真命题的是( ) AB A.① B.② C.③ D.④ 【解析】 ① ,正确； ②根据指数式和对数式的互化可知,则 ,正确； ③ ,错误； ④ ,对数的真数部分是正数（对数的定义）, 因此 无意义,错误. 2. （2024江苏连云港高中期中）已知,则 ( ) C A. B.0 C.2 D.4 【解析】 由得,即,又且 （ 对 数的底数和真数的范围）,所以 . . . 3.（2025天津河西区期中）已知,,则 __. 【解析】 由,得,而,所以 . 题型二 利用对数性质及运算法则化简求值 题组一 4.（2025江苏省如皋市期末） ( ) C A. B.3 C. D. 【解析】 . 5. 已知,试求 的值. 【答案】 由,得,则,解得 , 所以 . 坑神小课堂 ①对于任意的且,都有0,.②对数恒等式： ，且, . 题组二 6.（2025天津市第七中学月考） ( ) B A.1 B.3 C.4 D.8 【解析】 由题意可得, . 坑神有话说 对于底数不同的对数的乘法问题,常利用换底公式,将原式换成同底数对数的商的形式,可 快速化简式子. 7.（2025陕西师大附中月考）若,则 的值为( ) B A. B. C. D. 【解析】 由题知,（熟练掌握倒数关系）, （【大招53】消除幂底数的差异） . . . . . 8. （2025安徽省淮南第二中学月考）若,,则用, 表示 ____. 根据给定条件,利用换底公式消除各对数间的底数差异,再利用对数的运算法则, 将所求式转化为与已知条件相关的式子即可. 【解析】 因为,,则 （指对互化）, 所以 . . . 9.计算下列各式的值: 【答案】 （1） （2025安徽蚌埠联考） ; 【答案】 .（【大招53】底数相同,逆 用对数运算性质） （2） （2024湖北洪湖一中联考） ； 【答案】 原式 . （【大招53】消除常用对数中真数的差异,利用 求解） . . . . （3） ； 【答案】 原式=（） （【大招53】底数和真数均不同,利用换底公式消除底数的差异） . （4） （2025江西宜春开学考试）化简: . 【答案】 .(化简时常用公式: ,且,, ) . . . . . . 题型三 解指、对数方程 10.（2025天津市新华中学月考）设,且,若,则 _____. 或3 指、对数方程的求解,观察方程结构,可考虑使用换元法,先利用换底公式将已知 转化为关于 的一元二次方程,再使用换元法求解即可. 【解析】 由 ， 整理得,令,则方程转化为 （转化为一元 二次方程求解）,解得或,即或,解得或 . . . 11.解下列方程: （1） （2024吉林长春八中期中） ； 【答案】 由 ,得 （同底法） 解得 . （2） ； 【答案】 ,等价于 ,即 ,即,解得或,所以 或 . . . . . （3） ； 【答案】 由得 ,所以 ,令 （换元法）, 则,解得或,所以或 . （4） . 【答案】 分和两种情况解方程 ,综合可得原方程的解. 当,即时,原方程即为,即 ,可得 ,又,所以此时方程 无解； 当,即时,原方程即为,可得,解得 . 综上,原方程的解为 . . . 能力觉醒 1. 大招53已知,则 ( ) B A.1 B.4 C.1或4 D.2 【解析】 由已知得,即,得或 . ,,,,,即, .（【大招53】消除同一对数式中底数和真数的差异） 坑神来避坑 解答这类题目一般是由对数运算法则化等式为的形式,然后得 ,不仅 这里有,而且原等式中每个对数的真数都要大于0,如本题应有, , .这是对数问题的易错点之一. . . . . 2.已知函数,则 的值为( ) D A. B.1 C.2 D. 【解析】 先求出,判断出 ,直接代入即可求解. 由题意知,,因为,所以 . 3.（2025江苏南京期中）已知,,,则 的最小值是 ( ) B A.18 B.9 C. D.3 【解析】 , 所以,且, , 所以（“1”的代换） , 当且仅当,即 时等号成立. . . 4. （2025广东江门期末）中国的技术领先世界, 技术的数学原理之一便 是著名的香农公式: .它表示:在受噪声干扰的信道中, ... ...
