4.1.1正弦（教学课件）湘教版2025-2026学年九年级数学上册

(课件网) 幻灯片 1：封面 标题：4.1.1 正弦 副标题：探索直角三角形中锐角与边的关系 姓名：[教师姓名] 日期：[授课日期] 幻灯片 2：情境引入 实际问题：如图，为测量山坡上一棵大树的高度，我们无法直接攀登测量，但若已知山坡的倾斜角和树底部到观测点的水平距离，能否计算树的高度？ 数学思考：在直角三角形中，锐角的大小与两条边的比值是否存在固定关系？这就是本节课要学习的三角函数 ——— 正弦。 幻灯片 3：直角三角形中的边与角 基本概念：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，∠\(A\)、∠\(B\)为锐角。 斜边：直角所对的边\(AB\)，记为\(c\)。 直角边：∠\(A\)的对边为\(BC\)，记为\(a\)；∠\(A\)的邻边为\(AC\)，记为\(b\)。 观察发现：对于固定的锐角∠\(A\)，无论直角三角形的大小如何变化，∠\(A\)的对边与斜边的比值始终保持不变。 幻灯片 4：正弦的定义 定义：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，我们把锐角∠\(A\)的对边与斜边的比叫做∠\(A\)的正弦，记作\(\sin A\)，即：\( \sin A = \frac{ A è }{ è } = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{c} \) 符号解读：“\(\sin\)” 是正弦的符号，读作 “赛因”，\(\sin A\)表示一个整体，不是\(\sin\)与\(A\)的乘积。 注意事项： 正弦的定义仅适用于直角三角形。 比值与直角三角形的大小无关，只与锐角的度数有关。 比值没有单位，是一个正数（因为边长为正数）。 幻灯片 5：正弦定义的应用 图形示例：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(BC = 3\)，\(AB = 5\)，则\(\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5}\)。 角度与正弦值的关系：锐角的正弦值随角度的增大而增大（后续会深入学习）。 特殊说明：对于∠\(B\)，同样有\(\sin B = \frac{ B è }{ è } = \frac{AC}{AB} = \frac{b}{c}\)。 幻灯片 6：例题讲解 1 - 直接计算正弦值 题目：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(AC = 4\)，\(BC = 3\)，求\(\sin A\)和\(\sin B\)的值。 解答： 由勾股定理得，\(AB = \sqrt{AC + BC } = \sqrt{4 + 3 } = 5\)。 ∠\(A\)的对边为\(BC = 3\)，斜边为\(AB = 5\)，因此\(\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5}\)。 ∠\(B\)的对边为\(AC = 4\)，斜边为\(AB = 5\)，因此\(\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{5}\)。 答：\(\sin A = \frac{3}{5}\)，\(\sin B = \frac{4}{5}\)。 幻灯片 7：例题讲解 2 - 已知正弦值求边长 题目：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(\sin A = \frac{2}{3}\)，斜边\(AB = 6\)，求∠\(A\)的对边\(BC\)的长度。 解答： 根据正弦的定义，\(\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{3}\)。 已知\(AB = 6\)，代入得\(\frac{BC}{6} = \frac{2}{3}\)。 解得\(BC = 6 \frac{2}{3} = 4\)。 答：∠\(A\)的对边\(BC\)的长度为 4。 幻灯片 8：例题讲解 3 - 结合实际问题求正弦值 题目：如图，一个斜坡的倾斜角为∠\(A\)，斜坡上一点\(B\)到坡底\(C\)的垂直高度\(BC = 5m\)，斜坡长度\(AB = 10m\)，求∠\(A\)的正弦值。 解答： 由题意可知，Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，∠\(A\)的对边\(BC = 5m\)，斜边\(AB = 10m\)。 根据正弦定义，\(\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)。 答：∠\(A\)的正弦值为\(\frac{1}{2}\)。 幻灯片 9：课堂练习 1 - 基础应用 题目： 在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(AB = 13\)，\(BC = 5\)，则\(\sin A = \)，\(\sin B = \)。 若在 Rt△\(DEF\)中，∠\(F = 90 °\)，\(\sin D = \frac{3}{5}\)，\(DE = 10\)，则\(EF = \)_____。 答案 \(\frac{5}{13}\)，\(\frac{12}{13}\)（由勾股定理得\(AC = 12\)，再根据定义计算） 6（\(\sin D = \frac{EF}{DE} ... ...