第2章 一元二次方程【章末复习】（教学课件）湘教版2025-2026学年九年级数学上册

(课件网) 幻灯片 1：封面 标题：第 2 章 一元二次方程 章末复习 副标题：梳理知识脉络，强化应用能力 姓名：[教师姓名] 日期：[授课日期] 幻灯片 2：本章知识结构框架 幻灯片 3：核心知识点回顾 1 - 定义与解法 一元二次方程定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的整式方程，其一般形式为\(ax + bx + c = 0\)（\(a 0\)），其中\(a\)为二次项系数，\(b\)为一次项系数，\(c\)为常数项。 四种解法对比 直接开平方法：适用于\(x = p\)（\(p 0\)）或\((mx + n) = p\)（\(p 0\)），直接开平方得解。 配方法：通过配方转化为\((x + h) = k\)（\(k 0\)），步骤：化 1→移项→配方→开方。 公式法：通用解法，求根公式为\(x = \frac{-b ±\sqrt{b - 4ac}}{2a}\)（\(\Delta 0\)）。 因式分解法：将方程化为\((mx + n)(px + q) = 0\)，转化为两个一次方程求解。 幻灯片 4：核心知识点回顾 2 - 根的判别式与韦达定理 根的判别式（\(\Delta = b - 4ac\)） \(\Delta 0\)：方程有两个不相等的实数根。 \(\Delta = 0\)：方程有两个相等的实数根（\(x = x = -\frac{b}{2a}\)）。 \(\Delta 0\)：方程无实数根。 根与系数的关系（韦达定理）：若\(x \)、\(x \)是\(ax + bx + c = 0\)（\(a 0\)，\(\Delta 0\)）的两根，则： \(x + x = -\frac{b}{a}\) \(x ·x = \frac{c}{a}\) 常见变形：\(x + x = (x + x ) - 2x x \)；\(\frac{1}{x } + \frac{1}{x } = \frac{x + x }{x x }\) 幻灯片 5：核心知识点回顾 3 - 实际应用模型 增长率问题：\(a(1 + x)^n = b\)（\(a\)为初始量，\(x\)为增长率，\(n\)为次数，\(b\)为最终量）。 降低率问题：\(a(1 - x)^n = b\)（\(x\)为降低率）。 利润问题：总利润 = 单件利润 × 销售量，需明确价格与销量的关系。 面积问题：根据图形形状（矩形、正方形等）列面积方程，注意边长变化后的表达式。 幻灯片 6：典型例题 1 - 方程解法综合 题目：选择合适的方法解下列方程 （1）\(x - 6x + 9 = 0\) （2）\(2x - 5x - 3 = 0\) （3）\((x - 1) = 2x - 2\) 解答 （1）配方法 / 直接开平方法：\((x - 3) = 0\)，解得\(x = x = 3\)。 （2）因式分解法 / 公式法：\((2x + 1)(x - 3) = 0\)，解得\(x = -\frac{1}{2}\)，\(x = 3\)。 （3）因式分解法：移项得\((x - 1) - 2(x - 1) = 0\)，提取公因式得\((x - 1)(x - 3) = 0\)，解得\(x = 1\)，\(x = 3\)。 幻灯片 7：典型例题 2 - 根的判别式应用 题目：已知关于\(x\)的一元二次方程\((k - 1)x + 2x - 1 = 0\)有两个不相等的实数根。 （1）求\(k\)的取值范围。 （2）若\(k\)为正整数，求此时方程的根。 解答 （1）由题意得\(\Delta 0\)且\(k - 1 0\)，即\(2 - 4(k - 1)(-1) 0\)且\(k 1\)，解得\(4 + 4k - 4 0\)即\(k 0\)且\(k 1\)。 （2）\(k\)为正整数且\(k 0\)、\(k 1\)，则\(k = 2\)，方程为\(x + 2x - 1 = 0\)，解得\(x = \frac{-2 ±\sqrt{8}}{2} = -1 ±\sqrt{2}\)。 幻灯片 8：典型例题 3 - 韦达定理应用 题目：已知关于\(x\)的方程\(x - 4x + m - 1 = 0\)的两根为\(x \)、\(x \)，且\(x + x = 10\)，求\(m\)的值。 解答：由韦达定理得\(x + x = 4\)，\(x ·x = m - 1\)。\(x + x = (x + x ) - 2x x = 16 - 2(m - 1) = 10\)，解得\(16 - 2m + 2 = 10\)即\(m = 4\)。验证\(\Delta = 16 - 4 1 3 = 4 0\)，符合题意，故\(m = 4\)。 幻灯片 9：典型例题 4 - 增长率问题 题目：某公司 2022 年的销售额为 500 万元，2024 年的销售额为 605 万元，求该公司这两年销售额的年平均增长率。 解答：设年平均增长率为\(x\)，列方程\(500(1 + x) = 605\)，即\((1 + x) = 1.21\)，解得\(x = 0.1 = 10\%\)，\(x = -2 ... ...