(
课件网) 第二章 直线和圆的方程 2.1.2两条直线平行和垂直的判定 数学 ①学会用斜率判断两条直线的平行和垂直关系,并解决相应的几何问题. ②体会利用代数方法研究几何问题的基本方法. ③促进数学抽象、数学运算、直观想象、逻辑推理等素养的发展. 重点： 根据斜率判定两条直线平行和垂直. 难点： 将判定两条直线平行和垂直转化为判断两条直线斜率的关系来研究. 问题1 平面中的两条直线有两种位置关系： 如图，若l1∥ l2，则倾斜角分别为α1=α2，所以tan α1＝tan α2，即k1=k2. 因此，若l1∥ l2，即k1=k2. 反之，若k1＝k2，则tan α1＝tan α2，所以α1=α2所以l1∥ l2. 因此，对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有 l1//l2 k1=k2. 问题2 当两条直线l1与直线l2平行时，它们的斜率k1与k2满足什么关系？并论证你的结论. 注意：若没有特别说明，说“两条直线l1，l2”时，指两条不重合的直线. 相交、平行 追问：若直线的斜率不存在，与什么位置关系？ 若直线重合，此时仍然有. （这个结论常用于证明三点共线） 注 意 直线的斜率不存在 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2 l1∥l2 两直线的斜率都不存在 图示 k1＝k2 两条直线平行的判定 用斜率证明三点共线时，常常用到这个结论. 问题3:直线l1,l2垂直时,它们的斜率除了不相等外,是否还有特殊的数量关系 类比前面的研究进行讨论. 解 l1⊥l2 α2=90°+α1,k2=tan α2=tan(90°+α1),k1=tan α1. 因为tan(90°+α1)==-, 所以k2=-,即k1k2=-1. 问题4:当两条直线垂直时,它们的斜率之积一定等于-1吗 为什么 不一定,因为其中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,两条直线也垂直. 例1.已知四边形ABCD四个顶点为A(0，0)，B(2，－1)，C(4，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状，并证明. x y O B C D 是否还有其他方法 A 解 如图,由已知可得AB边所在直线的斜率kAB=-, CD边所在直线的斜率kCD=-, BC边所在直线的斜率kBC=, DA边所在直线的斜率kDA=. ∵kAB=kCD,kBC=kDA,∴AB∥CD,BC∥DA. 因此四边形ABCD是平行四边形. 例2 已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三点,试判断△ABC的形状. 解 如图,边AB所在直线的斜率kAB=-,边BC所在直线的斜率kBC=2, ∵kAB·kBC=-×2=-1, ∴AB⊥BC, 即∠ABC=90°, ∴△ABC为直角三角形. 变式训练 已知A(5,-1),C(2,3)两点,点B在x轴上,且∠ABC为直角,求点B的坐标. 解 (1)当x=2时,BC⊥x轴,显然∠ABC不是直角,不符合题意; 同理,可得x=5时,不符合题意. (2)如图,当x≠2,且x≠5时,设点B的坐标为(x0,0), 则kAB=,kBC=,∵kAB·kBC=-1,∴x0=或x0=, 故点B的坐标为. 1.(多选题)下列结论错误的是( ) A.若直线l1,l2的斜率相等,则l1∥l2 B.若直线l1,l2的斜率k1k2=1,则l1⊥l2 C.若直线l1,l2的斜率都不存在,则l1∥l2 D.若直线l1,l2的斜率不相等,则l1与l2不平行 2.已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(6,-6),试判断直线AB与PQ的位置关系. 解 直线AB的斜率kAB=,直线PQ的斜率kPQ==-. 因为kAB·kPQ=－1,所以AB⊥PQ. ABC 两条垂直直线斜率之间的关系 类型 斜率都存在 l1（或l2）的斜率不存在 前提条件 α1≠90°，且α2≠90° α1＝90°（或α2＝90°） 对应关系 l1⊥l2 l1⊥l2 l2（或l1）的斜率为0 图示 k1k2＝1 必做题：教材第57页习题2.1第1题,第2题. 探究：试确定m的值，使过A（m，1），B（-1，m）两点的直线与过P（1，2），Q（-5，0）两点的直线（1）平行；（2）垂直 ... ...
