(
课件网) 3.1.2椭圆的简单几何性质 第2课时 第三章 圆锥曲线的方程 数学 学习目标 ①会利用椭圆的简单几何性质求椭圆的离心率． ②通过数形结合，掌握判断点与椭圆、直线与椭圆的位置关系的方法． ③理解椭圆弦长公式的推导过程，会利用弦长公式求椭圆的弦长． ④能综合运用椭圆的标准方程及其简单几何性质,求解相关问题． 回顾直线与圆有哪些位置关系？我们如何判定直线与圆的位置关系呢？ 相交、相切、相离 回顾 探究一 点与椭圆、直线与椭圆的位置关系 类比直线与圆，直线与椭圆有哪些位置关系？ 例1 如图，已知椭圆C:=1和直线l:4x-5y+m=0，m为何值时，直线l与椭圆C: (1)有两个公共点 (2)有且只有一个公共点 (3)没有公共点 解 由方程组消去y,得25x2+8mx+m2-225=0.① 方程①的根的判别式Δ=64m2-4×25×(m2-225)=36×(252-m2). (1)由Δ>0,得-25
25.此时方程①没有实数根,直线l与椭圆C没有公共点. 设直线与椭圆的两个交点为M(x1,y1),N(x2,y2),m=0时,直线l的方程为4x-5y=0,我们把它与椭圆方程联立,得到方程组先将直线与椭圆方程变形,得消去y,得9x2+16x2-225=0,即x2=9,解得x1=3,x2=-3. 把结果分别代入4x-5y=0,得y1=2.4,y2=-2.4. 于是,M,N两点的坐标分别为(3,2.4),(-3,-2.4),由两点间的距离公式,得|MN|=. 故线段MN的长为. m=0时，直线l与椭圆C相交于M，N两点，如何求线段MN的长 例2 已知点P(4,2)是直线l被椭圆=1所截得的线段的中点,求直线l的方程. 解 (方法1 点差法) 设直线l的方程为y-2=k(x-4),l与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),所以 两式相减,得(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0.又x1+x2=8,y1+y2=4,所以=-,即k=-.所以直线l的方程为y-2=-(x-4),即x+2y-8=0. (方法2 根与系数关系法) 由题意可设直线l的方程为y-2=k(x-4), 而椭圆的方程可以化为x2+4y2-36=0. 将直线方程代入椭圆方程,得(4k2+1)x2-8k(4k-2)x+4(4k-2)2-36=0. 所以x1+x2==8,解得k=-. 所以直线l的方程为y-2=-(x-4),即x+2y-8=0.故直线l的方程为x+2y-8=0. 【变式训练】在例2条件下，求直线l被椭圆截得的弦长. 解 由题意可知直线l的方程为x+2y-8=0，与椭圆方程联立，得x2-8x+14=0. 解法1:解方程，得 所以直线l被椭圆截得的弦长为. 解法2:因为x1+x2=8，x1x2=14， 所以直线l被椭圆截得的弦长为. 规律总结：解决椭圆中点弦问题的两种方法. (1)根与系数关系法： 联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； (2)点差法: 利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下:已知A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆=1(a>b>0)上的两个不同的点,M(x0,y0)是线段AB的中点,则 由①-②,得)+)=0,变形,得=-=-,即kAB=-. 归纳新知 课堂探究 探究二 椭圆的实际应用问题 例3 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2，|F1B|=2.8 cm，|F1F2|=4.5 cm，结合图中的平面直角坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程(精确到0.1). 解 设截口BAC所在椭圆的方程为=1(a>b>0). 由椭圆的定义可知，|F1F2|=2c，所以c=2.25. 依题意，解得点B坐标为(-2.25，2.8)， 所以得到关于a和b的两个方程: 这是一个关于a2和b2的方程 ... ... 
