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课件网) 3.2.2 双曲线的简单几何性质 第1课时 第三章 圆锥曲线的方程 数学 学习目标 ①理解并掌握双曲线的简单几何性质． ②理解双曲线渐近线及离心率的意义． ③类比椭圆几何性质的研究方法,探究得到双曲线的简单几何性质,体会数形结合的思想． ④根据几何条件求出双曲线的标准方程,提高数学运算的核心素养． 学习重难点 重点： 掌握双曲线的简单几何性质． 难点： (1)虚轴的理解和掌握; (2)理解双曲线的渐近线及离心率的意义. 课堂导入 双曲线的定义 一般地，我们把平面内与两个定点，的距离的 等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做 .这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 . 差的绝对值 双曲线 焦点 焦距 课堂导入 思考：类比椭圆几何性质的研究方法,你认为应该研究双曲线 的哪些几何性质 范围、对称性、顶点、离心率等 课堂探究 问题1 横坐标的范围是，或， 纵坐标的范围是：. 类比研究椭圆范围的方法，双曲线的具体边界是怎样的？ 图象 方程 ，且 所以 所以，或;. F1 F2 O 双曲线位于直线及其左侧和直线及其右侧的区域． 总结 课堂探究 追问 课堂探究 F1 F2 O 图象 方程 关于x轴、y轴和原点都对称 ②P(x,y) P2(-x,y) y轴 ①P(x,y) P1(x,-y) x轴 ③ P(x,y) P3(-x, -y) 原点 图象关于x轴对称 问题2 观察双曲线的形状,你能从图中看出双曲线具有怎样的对称性？ . . 图象关于y轴对称 图象关于原点对称 . 课堂探究 追问 结论：坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线对称中心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心. 课堂探究 问题3 在方程中,令,得,所以双曲线和轴有两个交点． 双曲线的顶点 F1 F2 O 实轴 虚轴 B1 B2 A1 A2 类比求椭圆顶点的方法，尝试求双曲线的顶点. 令,得,这个方程没有实数解,说明双曲线和轴没有公共点,但我们也把两点画在轴上. 线段叫做双曲线的实轴,它的长等于叫做双曲线的实半轴长； 线段叫做双曲线的虚轴,它的长等于叫做双曲线的虚半轴长． 课堂探究 追问 双曲线的顶点是什么？ 答案： 课堂探究 双曲线的两支向外延伸时,与两条直线 逐渐接近,但永远不相交 探究：利用信息技术画出双曲线出线和两条直线. 你能发现什么？ 课堂探究 问题4 在双曲线的右支上取一点,测量点的横坐标以及它到直线的距离.沿曲线向右拖动点,观察与的大小关系,你能发现什么？ 提示：点的横坐标越来越大,越来越小,但是始终不等于0. 渐近线定义：一般地,双曲线的两支向外延伸时,与两条直线逐渐接近,我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．实际上,双曲线与它的渐近线无限接近,但永不相交． 课堂探究 追问 双曲线和的渐近线分别是什么？ 双曲线的渐近线为； 双曲线的渐近线为. 课堂探究 等轴双曲线 在双曲线中,如果,那么方程变为,此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于． 这时,四条直线围成一个正方形,渐近线方程为,它们互相垂直,并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角． 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． 课堂探究 问题5 离心率刻画了椭圆的扁平程度,双曲线的离心率刻画双曲线什么几何特征 与椭圆类似,双曲线的焦距与长轴长的比,叫做双曲线的离心率.因为,所以双曲线的离心率. 几何意义： 所以，时， 且增大，也增大，双曲线的“张口”就越大. 结论：是表示双曲线“张口”大小的一个量，越大双曲线“张口”越大. 课堂探究 追问 等轴双曲线离心率为多少？ 答案：= 【例题1】 典例讲解 解析：把方程化为标准方程为． 由此可知,实半轴长,虚半轴长 ； , 焦点坐标是； 离心率；渐近线方程为． 【例题2】 典例讲解 解 (1)由题意得 解得, 所以, 所以双曲线的标准方程为. 典例讲解 （2）由题意,当双曲线焦点在轴上时,解得, 所以双曲线的标准方程为； 当双曲线焦点在轴上时, ... ...
