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课件网) 3.2.2 双曲线的简单几何性质 第2课时 第三章 圆锥曲线的方程 数学 学习目标 ①通过数形结合的数学思想对直线和双曲线的位置关系进行讨论并推导. ②掌握直线被双曲线截取的弦长公式及中点弦方程. ③培养学生的逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养. 学习重难点 重点： 直线与双曲线的位置关系. 难点： 直线与双曲线的位置关系与交点个数问题. 课堂导入 问题1 直线与椭圆有几种位置关系？ 三种：相交、相切、相离. O x y O x y O x y 课堂导入 问题2 如何判断直线与椭圆的位置关系？ 一般地,设直线,椭圆. 联立消得. 直线与椭圆相交有两个公共点, 直线与椭圆相切有一个公共点, 直线与椭圆相离无公共点. 课堂探究 问题3 类比直线与椭圆的位置关系，直线与双曲线有几种位置关系 三种：相交、相切、相离. O x y O x y O x y 课堂探究 问题4 当直线与双曲线仅有一个公共点时,该直线与双曲线一定相切吗 答案:不一定.当直线与渐近线平行时,仅有一个交点. O x y 总结：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切,相交不一定两解. 课堂探究 问题5 如何判断直线与双曲线的位置关系？ 一般地,设直线,双曲线. 联立消得. (1)当,即时,直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线相交于一点. (2)当,即时,, 直线与双曲线有两个公共点,此时称直线与双曲线相交; 直线与双曲线有一个公共点,此时称直线与双曲线相切; 直线与双曲线无公共点,此时称直线与双曲线相离. 课堂探究 直线与圆的位置关系 例1 已知双曲线,直线,试确定实数k的取值范围,使： (1)直线l与双曲线有两个公共点; (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点; (3)直线l与双曲线没有公共点. 解： (1)联立 消整理得,(*). 当直线与双曲线C有两个公共点时,, 整理得 解得:或或. 课堂探究 直线与圆的位置关系 例1 已知双曲线,直线,试确定实数k的取值范围,使： (1)直线l与双曲线有两个公共点; (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点; (3)直线l与双曲线没有公共点. (2)当即时,直线与双曲线的渐近线平行, 方程(*)化为,故方程(*)有唯一实数解, 即直线与双曲线相交,有且只有一个公共点,满足题意. 当,直线l与双曲线C仅有一个公共点时,,解得 综上,或. 课堂探究 直线与圆的位置关系 例1 已知双曲线,直线,试确定实数k的取值范围,使： (1)直线l与双曲线有两个公共点; (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点; (3)直线l与双曲线没有公共点. (3)当直线与双曲线C没有公共点时, 解得：或. 课堂探究 判断直线与双曲线位置关系的方法:方程思想的应用(代数法). 总结 课堂探究 变式训练1 已知直线与曲线只有一个公共点,求实数a的值. 解：联立得, 当即时,直线与双曲线只有一个公共点. 当,时, 直线与双曲线只有一个公共点,解得. 故直线与曲线只有一个公共点时,的值为 弦长问题 课堂探究 弦长公式 已知直线与双曲线交于两点,则 弦长问题 课堂探究 例2 过双曲线的右焦点,倾斜角为的直线交双曲线于A,B两点,求. 课堂探究 变式训练2 已知双曲线：的离心率为,实轴长为2. (1)求双曲线的方程; (2)若直线被双曲线截得的弦长为,求的值. 解 (1)离心率为,实轴长为2, ∴,解得. ∴. ∴所求双曲线的方程为. 课堂探究 (2)设直线与双曲线的交点为, 联立 得：, ,化为. ∴. 由题意,化简得, 解得. 变式训练2 已知双曲线：的离心率为,实轴长为2. (1)求双曲线的方程; (2)若直线被双曲线截得的弦长为,求的值. 课堂探究 中点弦问题 设为双曲线上两点, 将A,B两点带入双曲线方程，得 两式作差得直线AB的斜率:k. 课堂探究 中点弦问题 例3 已知双曲线,求过点)且被点平分的弦所在直线的方程. 解法一 由题意知直线的斜率存在,故可设直线方程为, 即, 由消去整理得. 设,∴. ∵为的中点, ... ...
