3.4.2圆周角和直径的关系及圆内接四边形 课件(共34张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

(课件网) 第 1 页：封面页 标题：3.4.2 圆周角和直径的关系及圆内接四边形 副标题：北师大版九年级数学下册 配图：左侧为 “直径与直角圆周角” 示意图（AB 为直径，∠ACB=90°），右侧为 “圆内接四边形” 示意图（ABCD 内接于⊙O，标注对角∠A 与∠C、∠B 与∠D） 落款：授课教师 / 日期 第 2 页：学习目标 知识目标：熟练掌握 “直径所对的圆周角是直角” 及其逆定理的应用，理解圆内接四边形的定义与 “对角互补” 性质，明确圆内接四边形与圆周角的关联。 能力目标：能运用 “直径与直角圆周角” 的关系解决几何证明与计算，通过圆内接四边形性质推导角的数量关系，提升逻辑推理与几何综合分析能力。 素养目标：体会 “特殊与一般”“转化与化归” 的数学思想，感受圆内接四边形在实际场景中的应用价值，培养严谨的数学思维与数形结合意识。 第 3 页：回顾衔接 直径与圆周角的核心关系 知识回顾： 上节课推论：直径所对的圆周角是直角（如图，AB 为⊙O 直径，C 为圆上一点，则∠ACB=90°）； 逆定理：90° 的圆周角所对的弦是直径（若∠ACB=90° 且 C 在⊙O 上，则 AB 为⊙O 直径）。 思考引入： 若用直角三角板的直角顶点在圆上，两直角边与圆相交，斜边是否一定为圆的直径？ 四个顶点都在圆上的四边形（如圆形钟面上的四个刻度点组成的四边形），其内角有什么特殊关系？ 第 4 页：模块一 直径与圆周角关系的深化应用 1. 逆定理的几何证明 例题 1：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，求证：A、B、C 三点在以 AB 为直径的圆上（即 “直角三角形的三个顶点共圆，斜边为直径”）。 证明： 取 AB 的中点 O，连接 OC（直角三角形斜边中线等于斜边一半）； ∵ ∠ACB=90°，∴ OC=OA=OB=AB/2； ∴ 点 A、B、C 到点 O 的距离均等于 AB/2，故三点在以 O 为圆心、AB 为直径的圆上。 结论：所有直角三角形的三个顶点都共圆，且斜边为外接圆的直径（直角三角形的外接圆性质）。 2. 综合计算（结合勾股定理） 例题 2：如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 为圆上两点，∠ACD=45°，AB=8，求 AD 的长。 解答步骤： ∵ AB 是直径，∴ ∠ADB=90°（直径所对圆周角为直角）； ∠ACD 与∠ABD 所对的弧均为⌒AD，故∠ACD=∠ABD=45°（同弧所对圆周角相等）； △ADB 为等腰直角三角形，AD=AB/√2=8/√2=4√2。 思路提炼：遇直径优先构造直角，结合 “同弧圆周角相等” 转化角度，再用特殊三角形性质（如等腰直角三角形）或勾股定理计算边长。 第 5 页：模块二 圆内接四边形的定义与性质 1. 定义 圆内接四边形：四个顶点都在同一个圆上的四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 （示例：矩形、正方形的四个顶点共圆，外接圆以对角线为直径；等腰梯形的四个顶点也共圆） 反例：平行四边形（非矩形）的四个顶点不共圆（因对角相等但不互补，无法满足圆内接四边形性质）。 2. 性质探究（动手操作 + 推理） 操作：在⊙O 上取四个点 A、B、C、D，连接形成四边形 ABCD，测量∠A 与∠C、∠B 与∠D 的度数。 观察：∠A + ∠C≈180°，∠B + ∠D≈180°（对角之和为 180°）。 证明（圆内接四边形对角互补）： 连接 OA、OC（半径）； ∠A 是圆周角，所对的弧为⌒BCD，故∠A=1/2⌒BCD 的度数； ∠C 是圆周角，所对的弧为⌒BAD，故∠C=1/2⌒BAD 的度数； ∵ ⌒BCD + ⌒BAD=⊙O 的周长（360°），∴ ∠A + ∠C=1/2 (360°)=180°； 同理可证∠B + ∠D=180°。 性质总结：圆内接四边形的对角互补（即对角之和为 180°）。 3. 推论（外角性质） 圆内接四边形的一个外角等于它的内对角（如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠DCE 是外角，则∠DCE=∠A）。 证明： ∠DCE + ∠BCD=180°（平角定义）； ∠A + ∠BCD=180° ... ...