3.7 切线长定理 课件(共33张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

(课件网) 第 1 页：封面页 标题：3.7 切线长定理 副标题：北师大版九年级数学下册 配图：左侧为 “切线长定理核心图形”（点 P 在⊙O 外，PA、PB 分别切⊙O 于 A、B，标注 PA=PB、∠APO=∠BPO），右侧为 “定理应用场景”（三角形内切圆中，从顶点引内切圆的两条切线长相等） 落款：授课教师 / 日期 第 2 页：学习目标 知识目标：理解切线长的定义，掌握切线长定理（从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角），能结合定理解决 “线段相等”“角度平分” 等问题。 能力目标：通过定理推导培养逻辑推理能力，运用切线长定理与三角形内切圆知识结合，解决 “切线长计算”“三角形周长与内切圆半径关联” 等综合问题，提升几何分析能力。 素养目标：体会 “从具体图形到抽象定理” 的推导过程，感受几何定理的严谨性，培养数形结合与转化思想，规范几何证明的语言表达。 第 3 页：情境导入 切线长的定义 生活情境（配图）： 用两根等长的绳子，一端固定在圆形桌面外的同一点 P，另一端分别系在桌面边缘的 A、B 两点，拉直绳子后，绳子与桌面边缘 “刚好接触”（形成切线）； 从圆外一点 P，用圆规和直尺画出圆的两条切线 PA、PB，观察 PA 与 PB 的长度关系。 切线长定义： 从圆外一点引圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 （示例：点 P 在⊙O 外，PA 切⊙O 于 A，PB 切⊙O 于 B，则线段 PA、PB 的长均为点 P 到⊙O 的切线长） 思考引入：从圆外同一点引圆的两条切线，它们的切线长有什么关系？圆心与这一点的连线，对两条切线有什么作用？ 第 4 页：核心定理 切线长定理（探究与证明） 1. 定理探究（动手操作 + 测量） 操作步骤： 画⊙O，在⊙O 外取一点 P； 用尺规作⊙O 的两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B； 用刻度尺测量 PA、PB 的长度，用量角器测量∠APO、∠BPO 的度数（O 为圆心）。 观察结论：PA=PB，∠APO=∠BPO（圆心和圆外一点的连线平分两条切线的夹角）。 2. 切线长定理内容 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 符号语言（如图，P 在⊙O 外，PA、PB 切⊙O 于 A、B）： PA = PB（切线长相等）； PO 平分∠APB（即∠APO = ∠BPO）。 3. 定理证明（逻辑推理） 已知：如图，点 P 在⊙O 外，PA、PB 分别切⊙O 于 A、B，连接 OA、OB、OP。 求证：PA=PB，OP 平分∠APB。 证明： ∵ PA、PB 是⊙O 的切线，OA、OB 是⊙O 的半径，∴ OA⊥PA，OB⊥PB（切线性质定理），即∠OAP=∠OBP=90°； 在 Rt△OAP 和 Rt△OBP 中，OA=OB（同圆半径相等），OP=OP（公共边）； ∴ Rt△OAP ≌ Rt△OBP（HL 全等判定）； ∴ PA=PB（全等三角形对应边相等），∠APO=∠BPO（全等三角形对应角相等）。 4. 定理延伸（结合圆的对称性） 由定理可知，OP 不仅平分∠APB，还垂直平分 AB（∵ Rt△OAP≌Rt△OBP，∴ ∠AOP=∠BOP，又 OA=OB，∴ OP 垂直平分 AB）； 结论：从圆外一点到圆的两条切线，其连线（AB）被圆心与该点的连线（OP）垂直平分。 第 5 页：典例精讲 1 切线长定理的基础应用 例题 1：求切线长与角度 如图，PA、PB 分别切⊙O 于 A、B，∠APB=60°，OP=10cm，求 PA 的长及⊙O 的半径 OA。 解答步骤： 由切线长定理得 PA=PB，OP 平分∠APB，∴ ∠APO=∠APB/2=30°； ∵ OA⊥PA（切线性质），∴ △OAP 是直角三角形（∠OAP=90°）； 在 Rt△OAP 中，∠APO=30°，OP=10cm，∴ OA=OP/2=5cm（30° 角所对的直角边等于斜边的一半）； 由勾股定理得 PA=√(OP - OA )=√(10 - 5 )=5√3 cm。 思路提炼：遇切线长问题，优先连接 “圆心与切点”（构造直角）和 “圆心与圆 ... ...