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课件网) 与圆有关的计算 第26讲 考情分析 本课时常考知识点有弧长的计算和不规则图形的面积计算.题型主 要以选择题、填空题为主，分值为3分，常考知识点有：1.以圆或者扇 形为背景，与平面图形相结合计算弧长；2.通过三角形、菱形或扇形的 旋转求阴影部分的面积；3.在矩形中作圆求阴影面积；4.在扇形中作正 方形求阴影面积；5.在扇形中结合直角三角形、等边三角形从而求阴影 面积. 考点1 弧长的计算 例1 （2020河南）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分 ∠BOC交 于点D，点E为半径OB上的动点.若OB＝2，则阴影部 分周长的最小值为 . 名师点拨 本题考查了弧长的计算、轴对称－最短路线问题.掌握轴对称的性 质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题 是关键. 跟踪训练 （2021河南）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均 为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在 上， ∠BAC＝22.5°，则 的长为 . 考点2 阴影部分面积的计算 例2（2025河南）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算 术》作注时，创立了“割圆术”.如图是研究“割圆术”时 的一个图形， 所在圆的圆心为O，四边形ABCD为矩形，边CD与 ☉O相切于点E，连接BE，∠ABE＝15°，连接OE交AB于点F. 若 AB＝4，则图中阴影部分的面积为 . －2 【解析】∵边CD与⊙O相切于点E，∴OE⊥CD. ∵四边形ABCD为 矩形，∴AB∥CD，∴OE⊥AB，∴AF＝FB＝ AB＝ ×4＝2.由圆 周角定理得，∠AOE＝2∠ABE＝30°，∴OA＝2AF＝4.由勾股定理 得，OF＝ ＝ ＝2 ，则S阴影部分＝S扇形AOE －S△AOF＝ － ×2×2 ＝ －2 ，故答案为 －2 . 名师点拨 本题考查的是切线的性质、扇形面积计算、矩形的性质，熟记圆的 切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.根据切线的性质得到 OE⊥CD，根据矩形的性质得到AB∥CD，得到OE⊥AB，根据垂径 定理求出AF，解直角三角形分别求出OA、OF，再根据S阴影部分＝S扇 形AOE－S△AOF求解即可. 跟踪训练 （2024河南）如图，☉O是边长为4 的等边三角形ABC的 外接圆，点D是 的中点，连接BD，CD. 以点D为圆心，BD的长 为半径在☉O内画弧，则阴影部分的面积为（ C ） A. B. 4π C. D. 16π C 【解析】由题意知，⊙O的半径为4，阴影部分为扇形BDC. 根据题 意，易证DB＝DO＝DC＝OB＝OC. 所以BD＝OB＝4，∠BDC＝ 120°.因此S扇形BDC＝ ＝ .故选C. 【解析】由题意知，⊙O的半径为4，阴影部分为扇形BDC. 根据题 意，易证DB＝DO＝DC＝OB＝OC. 所以BD＝OB＝4，∠BDC＝ 120°.因此S扇形BDC＝ ＝ .故选C. 变式训练 （2022河南）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移 到OB的中点O'处，得到扇形A'O'B'.若∠O＝90°，OA＝2，则阴影 部分的面积为 . ＋ 【解析】如图，设O′A′交 于点T，连接OT. ∵OT＝OB，OO′＝O′B′，∴OT＝2OO′.∵∠OO′T ＝90°，∴∠O′TO＝30°，∠TOO′＝60°.∴S阴影＝S扇形O′A′B′－（S扇形OTB－S△OTO′） ＝ － ＝ ＋ .故答案为 ＋ . 考点3 正多边形和圆的有关计算 例3 （2025郑州高新区模拟）如图，AB是☉O内接正八边形的一条 边，经过点B的直线l为☉O的一条切线，则∠1的度数（ B ） B A. 20° B. 22.5° C. 25° D. 30° 名师点拨 本题主要考查了正多边形的内角、圆的切线的性质等知识点，掌握圆的切线的性质是解题的关键. 跟踪训练 （2025上海）已知平面内有一个角，一个圆与这个角的两边 都有两个交点，若此圆在角的边上截得的两条弦恰好是某正五边形的一边，那么这个角的度数为 . 108°或36° 【解析】可分两种情况讨论：①如图1，∵∠MPN是正五边形的一个内角，∴∠MPN＝ ＝108°； ②如图2，∵∠OAB和∠OBA ... ...
