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课件网) 二次函数的应用 第15讲 考情分析 本课时常考知识点有：1.以实际问题为背景构建二次函数模型解决 问题：本考点考查二次函数的实际应用，借助二次函数的图象与性质解 决实际问题，如2023年河南第22题和2022年河南第21题.2.利用二次函 数解决生活中的最值问题：①求利润的最大值或成本的最小值是中考的 常见考查角度，多以解答题的形式命题，占10分，如2018年河南第21 题；②抛物运动的最高点、汽车刹车后运动的最远距离等也是近几年的 热门考查角度，如2024年河南第22题.3.几何图形中的最值问题：利用 二次函数解决几何图形问题，是中考的常见考点，多以选择题、填空题 的形式命题，占3分. 考点1 以实际问题为背景构建二次函数模型 例1 （2022河南）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状， 她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7 m，水柱在距喷水头P水平 距离5 m处达到最高，最高点距地面3.2 m；建立如图所示的平面直角 坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a（x－h）2＋k，其中x（m）是 水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度. （1）求抛物线的表达式. 解：（1）根据题意，得抛物线的顶点为（5，3.2）. 设抛物线的表达式为y＝a（x－5）2＋3.2. 将（0，0.7）代入，得0.7＝25a＋3.2. 解得a＝－ . ∴y＝－ （x－5）2＋3.2＝－ x2＋x＋ . ∴抛物线的表达式为y＝－ x2＋x＋ . （2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3 m，身高1.6 m的 小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水 平距离. 解：（2）当y＝1.6时，有－ x2＋x＋ ＝1.6. 解得x＝1或x＝9. ∴她与爸爸的水平距离为3－1＝2（m）或9－3＝6（m）. 答：当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离是2 m或6 m. 名师点拨 本题考查了二次函数的应用.解题的关键是读懂题意，把实际问题 转化为数学问题. 跟踪训练 （2025辽宁）为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的 抛物线形框架结构上增加立柱.为此，某数学兴趣小组开展了综合与实 践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1.去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2.准备皮尺等测量工具 采集 数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示 意图，信息如下： 1.大门形状为矩形（矩形ABCD）； 2.底部跨度（AD的长）为8 m； 3.立柱OE的长为2 m，且OE⊥AD，垂足为 O，AO＝OD 图1 设计 方案 考虑到实用和美观等因素，在A，D间增加两 根与AD垂直的立柱，垂足分别为M1，M2， 立柱的另一端点N1，N2在抛物线形框架结构 上，其中AM1＝M2D＝1 m 图2 确定 思路 小组成员经过讨论，确定以点O为坐标原点， 线段AD所在直线为x轴，建立如图2所示的平 面直角坐标系.点E的坐标为（0，2），设抛 物线的表达式为y＝ax2＋2，分析数据得到点 A或点D的坐标，进而求出抛物线的表达式， 再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决 问题 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式. 解：（1）由题意，得AD＝8，OA＝OD＝4， ∴A（－4，0）. 把A（－4，0）代入y＝ax2＋2，得0＝16a＋2， ∴a＝－ . ∴y＝－ x2＋2. （2）现有一根长度为2 m的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过 计算，判断这根材料的长度是否够用.（因施工产生的材料长度变化忽 略不计） 解：（2）由题意，可知OM1＝OM2＝4－1＝3， ∴点N1，N2关于y轴对称. ∵y＝－ x2＋2， ∴当x＝3时，y＝－ ×32＋2＝ . ∴M1N1＝M2N2＝ . ∵2× ＝ ＜2， ∴这根材料的长度够用. 考点2 最大利润问题 例2 （2025内江）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹 海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A，B两款“ ... ...
