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课件网) 第23讲 特殊的平行四边行 正方形 第三节 考点1 正方形的性质 例1（2024陕西）如图，已知正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为（ B ） B A. 2 B. 3 C. D. 【解析】由正方形CEFG和正方形ABCD，AB＝6，CE＝2，得AD∥GF. 所以△ADH∽△FGH. 所以DH∶HG＝AD∶GF＝6∶2＝3∶1.由DG＝6－2＝4，可得DH＝4÷（1＋3）×3＝3.故选B. 名师点拨 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质.解题的关键 是熟练掌握相似三角形的性质. 跟踪训练 （2025北京朝阳区二模）如图，正方形ABCD的边长为 2，E为BC边上的一点，以AE为边作矩形AEFG，使GF经过点D， 则矩形AEFG的面积为 . 【解析】如图，连接DE. ∵四边形AEFG是矩形， ∴AE⊥EF， ∴S△ADE＝ AE EF，∵S矩形AEFG＝AE EF， ∴S矩形AEFG＝2S△ADE. 同理可得S正方形ABCD＝2S△ADE， ∴S矩形AEFG＝S正方形ABCD＝2×2＝4， 故答案为4. 4 考点2 正方形的判定 例2 如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，请添加一个条 件 ，使四边形ABCD是正方形.（填一个 即可） 名师点拨 本题考查了正方形的性质与判定，矩形的性质.虽然是一道半开放 题，但熟练掌握正方形的判定方法是写出正确答案的关键. AB＝BC（答案不唯一） 跟踪训练 （2024广西）如图，在边长为5的正方形ABCD中，E， F，G，H分别为各边的中点.连接AG，BH，CE，DF，交点分别为 M，N，P，Q，那么四边形MNPQ的面积为（ C ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 10 C 【解析】由正方形的边长为5，得CD＝5，CF＝ .由勾股定理，得DF ＝ .由题意，得△DQG∽△DCF. ∴DQ∶QG＝DC∶CF＝2∶1，即DQ＝2QG＝ .∵E，F，G，H分别为各边的中点.∴DQ＝PQ＝ .∴四边形MNPQ的面积为（ ）2＝5.故选C. 考点3 正方形中的图形变换 例3 如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点 M落在边AD上（点M不与点A，D重合），点C落在点N处，MN与 CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E，F，连接BM. （1）求证：∠AMB＝∠BMP； 解：（1）证明：由翻折和正方形的性质，可得∠EMP＝∠EBC＝ 90°，EM＝EB. ∴∠EMB＝∠EBM. ∴∠EMP－∠EMB＝∠EBC－∠EBM， 即∠BMP＝∠MBC. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC. ∴∠AMB＝∠MBC. ∴∠AMB＝∠BMP. （2）若DP＝1，求MD的长. 解：（2）如图，延长MN，BC交于点Q. ∵AD∥BC， ∴△DMP∽△CQP. 又∵DP＝1，正方形ABCD的边长为3， ∴CP＝2. ∴ ＝ ＝ ＝ . ∴QC＝2MD，QP＝2MP. 设MD＝x，则QC＝2x. ∴BQ＝3＋2x. ∵∠BMP＝∠MBC，即∠BMQ＝ ∠MBQ， ∴MQ＝BQ＝3＋2x. ∴MP＝ MQ＝ . 在Rt△DMP中，MD2＋DP2＝MP2， ∴x2＋12＝ . 解得x1＝0（舍），x2＝ . ∴MD＝ . 名师点拨 本题主要考查了正方形的折叠问题、相似三角形的性质与判定、等 腰三角形的性质与判定、勾股定理等.正确作出辅助线构造相似三角形 是解题的关键. 跟踪训练 （2024德阳）在一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张 边长为4的正方形纸片ABCD，他在边AB和AD上分别取点E和点M， 使AE＝BE，AM＝1，又在线段MD上任取一点N（点N可与端点重 合），再将△EAN沿NE所在直线折叠得到△EA1N，随后连接DA1， 小王同学通过多次实践得到以下结论： ①当点N在线段MD上运动时，点A1在以E为圆心的圆弧上运动； ②当DA1达到最大值时，点A1到直线AD的距离达到最大； 你认为小王同学得到的结论正确的个数是 . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 C ③DA1的最小值为2 －2； ④DA1达到最小值时，MN＝5－ . 【解析】由折叠，可得A1E＝AE＝BE＝2，则点A1到点E的距离恒为 2，即可判断①正确；如图，连接DE，由勾股定理，可得在Rt△ADE 中，DE＝ ＝2 ，由DA1＋ ... ...
