2025-2026学年人教版八年级上册数学 第十七章 因式分解培优练习（含答案）

第十七章 因式分解培优练习 1.把多项式分解因式得，则m，n的值分别是 A. ， B. ， C. ， D. ， 2.已知多项式能用完全平方公式进行因式分解，则单项式A可能为 请写出所有符合要求的答案 3.分解因式： ； 4.两位同学将一个关于x的二次三项式均为常数，且因式分解时，甲同学看错了一次项的系数b，分解的结果为；乙同学看错了常数项c，分解的结果为，请写出原多项式，并直接写出因式分解的正确结果． 5.若k为任意整数，则的值总能 A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除 6.已知，则的值是 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7.阅读下面的材料并填空： ①，逆过来看，得； ②，逆过来看，得 ； ③，逆过来看，得 利用上面材料中的方法简便计算： 8.【材料阅读】 若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数称为智慧数． 小明对智慧数进行了如下探究： ，是智慧数； ，是智慧数； ，是智慧数； …… 小明猜测除1外，所有的奇数都是智慧数．他的证明方法如下： 设k是正整数． ， 除1外，所有的奇数都是智慧数． 【类比探究】 ，是智慧数； ，是智慧数； ，是智慧数； …… 请你类比小明对智慧数的探究过程，对上述智慧数的规律写出自己的猜测并进行证明； 【拓展应用】不超过2025的最大的智慧数为 ，它能表示为 和 这两个正整数的平方差． 9.阅读材料：因式分解的方法除了提公因式法和公式法，还有分组分解法、拆项法等等． 利用分组分解法因式分解： 例如， 利用拆项法因式分解： 例如， 仿照以上方法，按照括号内的要求对下列各式进行因式分解：①分组分解法；②拆项法 若a，b，c分别是的三边长，且满足，请通过计算说明的形状． 如图，在中，，a，b，c分别表示该直角三角形的斜边长和两条直角边长，且b，c满足，求的度数． 10.【材料阅读】强强在图书馆查阅资料时，看到了一种新的因式分解方法———�试根法”．以下是对多项式按照“试根法”进行因式分解的过程： 解：当时，，是方程的一个解或“根” 由此推断因式分解后有一个因式是 因式分解与整式乘法互为逆变形过程， 另一个因式只能是关于x的一次二项式且一次项的系数为 设另一个因式为 根据对应项系数相等，得解得 根据阅读材料，利用“试根法”，解决下面的问题： 【知识理解】若关于x的二次三项式因式分解后有一个因式为，则_____.若关于x的多项式因式分解后有两个因式，分别为和，求的值． 【实践应用】下面是强强对多项式因式分解的部分过程，请继续完成剩余的步骤： 解：当时，，该多项式分解后有一个因式是 原多项式最高次项的系数为2，设另一个因式为 填空：_____，_____. 多项式还可以继续因式分解，利用“试根法”对进行因式分解． 多项式因式分解的结果为_____. 答案和解析 1.【答案】B 【解析】略 2.【答案】或 【解析】略 3.【答案】【小题1】 解：原式 【小题2】 原式 【解析】 略 略 4.【答案】解：，且甲同学看错了一次项的系数b而没有看错其他系数，，，且乙同学看错了常数项c而没有看错其他系数，原多项式为，因式分解的正确结果为 【解析】略 5.【答案】B 【解析】 为任意整数，的值总能被3整除． 6.【答案】C 【解析】略 7.【答案】【小题1】 【小题2】 原式 【解析】 略 略 8.【答案】【小题1】 解：猜测：除4外，所有能被4整除的数都是智慧数． 证明：设，且k为整数．，除4外，所有能被4整除的数都是智慧数． 【小题2】 2025 1013 1012 【解析】 略 略 9.【答案】【小题1】 解：①原式 ②原式 【小题2】 ，， 即 又，，，，，解得，，，为等腰三角形． 【小题3】 ，，是等腰直角三角形． 【解析】 略 略 略 10.【答案】【小题1】 解： 根据题意，得当或时，当时，；当时， 联立，得 ②-①，得，即 【小题2】 由，得当时，，该多项式因式分解后 ... ...