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课件网) 1.3.1平方差公式 第一章 整式的乘除 新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】 授课教师：******** 班 级：******** 时 间：******** 买合苏迪古丽·买买提 托克逊县第二中学 15909954880 1.3.1 平方差公式 学习目标 理解平方差公式的推导过程，能准确表述平方差公式的内容。 熟练运用平方差公式进行整式乘法运算、多项式因式分解以及简化复杂的数学表达式，提升运算能力。 通过对平方差公式的探究，体会从特殊到一般的数学归纳思想，培养观察、分析和归纳总结的能力。 情境引入 在前面学习多项式与多项式相乘时，我们掌握了一般的计算方法。但在一些特殊形式的多项式乘法中，存在更简便的运算规律。比如，我们来计算这样两组式子： (1) \((3 + 2)(3 - 2)\)，根据多项式乘法法则，\((3 + 2)(3 - 2)=3 3 - 3 2 + 2 3 - 2 2 = 9 - 4 = 5\)； (2) \((5 + 1)(5 - 1)\)，同样按法则计算，\((5 + 1)(5 - 1)=5 5 - 5 1 + 1 5 - 1 1 = 25 - 1 = 24\)。 观察这两个式子的计算过程和结果，你能发现什么规律吗？如果把式子中的数字换成字母，是否也有类似规律呢？这就是我们本节课要学方差公式。 平方差公式推导 从多项式乘法到平方差公式 我们以\((a + b)(a - b)\)为例进行推导。根据多项式与多项式相乘的法则，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 那么\((a + b)(a - b)=a a - a b + b a - b b\)。 而\(-a b + b a = 0\)（乘法交换律），所以\((a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}\)。 由此，我们得到了平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，用符号表示为\((a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}\) 。这里的\(a\)和\(b\)不仅可以代表具体的数字，还可以是单项式、多项式等代数式。 平方差公式的几何解释 从几何图形的角度，我们也能直观地理解平方差公式。假设有一个边长为\(a\)的大正方形，在它的一角剪去一个边长为\(b\)的小正方形（\(a>b\)），如图所示： [此处可插入一个大正方形一角去掉小正方形的简单示意图] 那么剩余部分（阴影部分）的面积有两种计算方法： 用大正方形的面积减去小正方形的面积，大正方形面积为\(a^{2}\)，小正方形面积为\(b^{2}\)，所以阴影部分面积\(S=a^{2}-b^{2}\)。 我们把阴影部分进行拼接，将它转化为一个长方形。这个长方形的长为\((a + b)\)，宽为\((a - b)\)，那么根据长方形面积公式，其面积\(S=(a + b)(a - b)\)。 因为这两种方法计算的是同一部分图形的面积，所以\((a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}\)，这就从几何角度验证了平方差公式。 平方差公式的应用 直接运用平方差公式计算 例 1：利用平方差公式计算 (1) \((2x + 3)(2x - 3)\) (2) \((-5m + n)(-5m - n)\) (3) \((a^{2}+b^{3})(a^{2}-b^{3})\) 解： (1) 对于\((2x + 3)(2x - 3)\)，这里\(a = 2x\)，\(b = 3\)，根据平方差公式\((a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}\)，可得\((2x + 3)(2x - 3)=(2x)^{2}-3^{2}=4x^{2}-9\)。 (2) 对于\((-5m + n)(-5m - n)\)，此时\(a = -5m\)，\(b = n\)，所以\((-5m + n)(-5m - n)=(-5m)^{2}-n^{2}=25m^{2}-n^{2}\)。 (3) 对于\((a^{2}+b^{3})(a^{2}-b^{3})\)，这里\(a = a^{2}\)，\(b = b^{3}\)，则\((a^{2}+b^{3})(a^{2}-b^{3})=(a^{2})^{2}-(b^{3})^{2}=a^{4}-b^{6}\)。 方法总结：应用平方差公式计算时，要先确定式子中的\(a\)和\(b\)。左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同（此为\(a\)），另一项互为相反数（此为\(b\)）；右边是相同项的平方减去相反项的平方。 利用平方差公式进行简便运算 例 2：计算 (1) \(102 98\) (2) \(49.8 50.2\) 解： (1) \(102 98=(100 + 2)(10 ... ...
