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课件网) 第1章 三角形 1.4 线段垂直平分线与角平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质 课堂小结 例题讲解 获取新知 随堂演练 问题情境 问题情境 我们已经知道,线段和角都是轴对称图形,它们的对称轴分别是线段的垂直平分线和角平分线.下面,我们利用全等三角形研究它们的性质. 获取新知 1．如图，线段AB的垂直平分线l与AB相交于点O,在l上任意取一点P,连接PA,PB.线段PA与PB一定相等吗 如何证明 证明:因为OP是线段AB的垂直平分线, 所以AO= ,∠1=∠ =90°. 通过“ ———,可证△POA≌△POB, 所以PA与PB相等. 思 考 2 SAS 像这样的点P还有吗？为什么？ 活动 1 探究线段垂直平分线性质定理 BO 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． ∵点P在线段AB的垂直平分线上 ∴PA=PB. 符号语言： 或（PO⊥AB，AO=BO), 知识要点 线段垂直平分线外的点到这条线段两端的距离相等吗？为什么？请你画出图形，试着说明. 解：不相等. 如图，在线段AB的垂直平分线l外任取一点P，连接PA、PB，设PA交l于点Q，连接QB． 根据“线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，因为点Q在AB的垂直平分线上，所以QA＝QB． 于是PA＝PQ＋QA＝PQ＋QB． 因为三角形的两边之和大于第三边， 所以PQ＋QB＞PB，即PA＞PB． O 2 1 l B A P Q 讨 论 例题讲解 例1 利用网格线画线段PQ的垂直平分线． P Q 例2 如图，要在公路旁设一个公交车的停车站，停车站应设在什么地方，才能使A、B两村到车站的距离相等？ 公路 A村 B村 P 获取新知 在一张薄纸上画一条线段AB． 你能找出与线段AB的端点A、B距离相等的点吗？ 这样的点有多少个？ 做一做 活动 2 探究线段垂直平分线性质定理的逆定理 A B Q A B Q M 如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上吗？ 讨论与交流: 证明你的想法： ①若点Q在线段AB上，且QA=QB，结论成立吗？ ②若点Q在线段AB外，且QA=QB，结论成立吗？ 情况一 ：点Q在线段上 情况二 :点Q在线段外 证明： ∵QA=QB，∴点Q为线段AB的中点，显然此时点Q在线段AB的垂直平分线上. 已知：如图，QA＝QB， 求证：点Q在线段AB的垂直平分线上. 证明：过点Q 作AB 的垂线QM，垂足为点M． 则∠QMA =∠QMB =90°． 在Rt△QMA 和Rt△QMB 中， QA =QB，QM =QM， ∴ Rt△QMA ≌Rt△QMB（HL）． ∴ AM =BM． 又 QM⊥AB， ∴ 点Q 在线段AB 的垂直平分线上． A B Q M 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合. 线段垂直平分线性质定理的逆定理： A B P 几何语言： (到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上) ∵ PA =PB，（已知） ∴ 点P在AB的垂直平分线上． 归纳总结 你能用尺规画出任一条已知线段的垂直平分线吗？如果能，说说你作图的依据． 试一试 作法： １．分别以A,B为圆心，大于AB长的一半为半径画弧，两弧交于点C,D． ２．过C,D两点作直线． 直线CD就是线段AB的垂直平分线． A B C D A B ∵CA=CB, ∴点C在线段AB的垂直平分线上. ∵DA=DB, ∴点D在线段AB的垂直平分线上, ∴CD是线段AB的垂直平分线. 简写成： ∵CA=CB，DA=DB, ∴CD是线段AB的垂直平分线. C D 证明：连接CA、CB、DA、DB. 如图,AB=AD,CB=CD,AC,BD相交于点E.你能在图中找到哪些相等的角 如何证明 讨论探究 解:相等的角:∠AED=∠AEB=∠CED=∠CEB, ∠DAC=∠BAC,∠ACD=∠ACB,∠ADC=∠ABC, ∠ADE=∠ABE,∠CDE=∠CBE. 证明如下: ∵AB=AD,CB=CD,∴AC垂直平分线段BD. ∴∠AEB=∠AED=∠BEC=∠DEC=90°. 在△ADC和△ABC中, ∴△ADC≌△ABC(SSS). ∴∠DAC=∠BAC,∠ACD=∠ACB,∠ADC=∠ABC. 在△ADE和△ABE ... ...
