斐波那契数列专题复习 一、复习目标 构建斐波那契数列完整知识体系，熟练掌握定义、递推关系、通项公式及核心性质（含证明）； 全面突破高考各类题型，包括基础求值、实际建模、综合证明、难题拓展，提升解题能力； 强化逻辑推理与数学建模素养，适配高考对递推数列的深度考查要求。 二、核心知识回顾 1. 定义与递推关系 定义：数列满足 ，，（），称为斐波那契数列。 拓展初始值：部分题目定义 ，，递推关系不变，需灵活适配。 2. 通项公式 证明（特征根法）： 由递推关系 ，构造特征方程 ； 解得特征根 （黄金分割比），； 设通项为 ，代入初始值 ，： 因 ，，代入第二个方程得 ； 联立解得 ，，故通项公式成立。 3. 核心性质（含证明·高考高频） 性质1：求和性质 证明： 由递推关系 （）； 叠加求和：； 展开后中间项抵消：； 因 ，故 ，性质成立。 性质2：平方和性质 证明（数学归纳法）： ① 当 时，左边 ，右边 ，成立； ② 假设 时成立，即 ； ③ 当 时，左边 （递推关系）； 故 时成立，综上对任意 成立。 性质3：交叉性质 （） 证明（数学归纳法）： ① 当 时，左边 ，右边 ，成立； ② 假设 （）时成立，即 ； ③ 当 时，左边 ； 由假设 ，得 ； 代入左边得 ，与右边 相等； 故 时成立，综上对 成立。 性质4：递推拓展性质 （，） 证明（数学归纳法）： ① 当 时，右边 ，与左边 相等，成立； ② 假设 （）时成立，即 ； ③ 当 时，左边 （递推关系）； 由假设：，； 相加得 ，与右边相等； 故 时成立，综上对 成立。 性质5：黄金分割性质 证明： 由通项公式 ，； 则 ； 因 ，，故 ； 故 ，性质成立。 性质6：奇数项求和性质 证明： 由递推关系 （）； 叠加求和：（令 ）； 中间项抵消得 ，性质成立。 性质7：平方和拓展性质 证明（数学归纳法）： ① 当 时，左边 ，右边 ，成立； ② 假设 时成立，即 ； ③ 当 时，左边 ； 由假设和递推关系 ，结合性质4（令 ，）得 ，化简得左边 ； 故 时成立，综上对任意 成立。 三、高考题型分类突破（含多例题+详细解析） 题型1：直接利用递推关系求值（基础送分题） 例题1（2022·浙江模拟） 已知斐波那契数列满足，，，则（ ） A. 1 B. -1 C. 0 D. 2 解析：由递推关系 ，代入得 ，答案：C。 练习1（2023·福建模拟） 设斐波那契数列，若，，则_____。 解析：，，答案：55。 练习2（2024·广东模拟） 已知斐波那契数列，则（ ） A. 54 B. 88 C. 89 D. 143 解析：利用性质1，，答案：B。 练习3（2023·海南模拟） 若斐波那契数列满足，，则_____。 解析：数列前10项为0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，代入得8+21-55=-26，答案：-26。 练习4（2024·天津模拟） 已知为斐波那契数列，，，则_____。 解析：利用性质2，（或直接计算：2 +3 +5 =4+9+25=38），答案：38。 题型2：斐波那契数列与实际问题（建模类高频题） 例题2（2021·山东模拟） 某楼梯共10级，每次只能上1级或2级台阶，上完该楼梯的不同方法数为（ ） A. 55 B. 89 C. 144 D. 233 解析：设上n级台阶方法数为，则，，，推导得，答案：B。 练习1（2020·河南模拟） 拼接第n次的方法数符合斐波那契数列（，），则拼接第7次的方法数为（ ） A. 13 B. 21 C. 34 D. 55 解析：推导得，答案：A。 练习2（2023·江苏模拟） 蜜蜂到达第n个蜂房的路径数为斐波那契数列，到达第3个蜂房路径数为2，则到达第8个蜂房的路径数为（ ） A. 21 B. 34 C. 55 D. 89 解析：，，，推导得，答案：A。 练习3（2024·安徽模拟） 拼团人数n的成团方式数满足，，，则第9人的成团方式数为（ ） A. 34 B. 55 C. 89 D. 144 解析：推导得，答案：A。 练习4（2022·四川模拟） 用1×2瓷砖覆盖2×n地面的方法数为，则（ ） A. 13 B. 21 C. 34 D. 55 解析： ... ...
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