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课件网) 第八章 平面解析几何 第九节 双曲线 职教高考一轮复习 直击高考 考点 考点解读 山东省近五年春季高考统计 常考题型 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 2024年 双曲线概念、标准方程和性质 掌握双曲线的概念、标准方程和性质及应用 (25) (30) (20) (19) (30) (19) 选择题 填空题 解答题 本节双曲线的概念方程及性质，会应用方程分析性质，同时也要会根据性质分析求解方程，以选择题、填空题的形式出现。 离心率 方程 渐近线 离心率 实轴长 方程 渐近线 离心率 1．双曲线的定义 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于0)的点的轨迹称为双曲线，这两个定点称为双曲线的焦点，两个焦点间的距离称为双曲线的焦距． (2)设点P为双曲线上任意一点，则有|PF1|－|PF2|＝±2a(0<2a<2c). 知识梳理 若2a＝|F1F2|，则表示两条射线； 若2a>|F1F2|，则无轨迹； 若2a＝0，则表示线段F1F2的垂直平分线． 2．双曲线的标准方程和几何性质 焦点位置 x轴，F1(－c，0)，F2(c，0) y轴，F1(0，－c)，F2(0，c) 标准方程 － ＝1(a>0，b>0) － ＝1(a>0，b>0) 图形 c b a 焦点到渐近线的距离为b 离心率 e＝ >1 渐近线 y＝± x y＝± x 实、虚轴长 实轴长2a，虚轴长2b 实轴长2a，虚轴长2b 焦距 2c 2c a，b，c关系 c2＝a2＋b2 范围 x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a 对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称 顶点 (－a，0)，(a，0) (0，－a)，(0，a) (1)双曲线方程 － ＝1表示焦点在x轴上， － ＝1表示焦点在y轴上． (2)双曲线中的a，b，c，e都有其几何意义， a表示实半轴长，b表示虚半轴长，c是半焦距， 而离心率e＝ 表示双曲线的开口程度． c2＝a2＋b2和e＝ 在解题中会经常用到． 牢记双曲线的离心率e>1. 【注】判断双曲线的焦点：看符号或看位置． (3)实轴与虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线． 在等轴双曲线中，离心率e＝ ，渐近线方程为y＝±x(互相垂直).在解题中，一般设等轴双曲线的方程为x2－y2＝λ. 当λ>0时，焦点在x轴上；当λ<0时，焦点在y轴上． (4)与双曲线 － ＝1(a>0，b>0)有相同的渐近线的双曲线可 设为 － ＝ λ. 【知识要点1】 双曲线的标准方程 【例1】 求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在y轴上，实轴长为6，离心率为 ； (2)离心率为 ，且与椭圆4x2＋9y2＝36有公共焦点； (3)过点P(2，－2)，且与双曲线 －y2＝1有相同渐近线． 【解析】(1)由题意知2a＝6，则a＝3.因为e＝ ＝ ，所以c＝5. 于是b＝ ＝ ＝4.又因为焦点在y轴上， 所以 － ＝1. (2)椭圆4x2＋9y2＝36的焦点坐标为(± ，0)，c＝ ， 而 ＝ ，所以a＝2，b＝1，故双曲线的方程为 －y2＝1. 典例分析 注意设法 【变式训练1】求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)以椭圆 ＋ ＝1的长轴端点为焦点，且经过点(3， )； 解：(1)由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2 . 设双曲线的标准方程为 － ＝1(a>0，b>0)， 则a2＋b2＝c2＝8，又经过点(3， )， ∴ － ＝1，解得a2＝3，b2＝5. ∴所求双曲线的标准方程为 － ＝1. ∴双曲线的标准方程为 － ＝1. (2)设该等轴双曲线的方程为x2－y2＝λ. ∵双曲线过点P(4，－3)，∴λ＝42－(－3)2＝7. （3）∵双曲线的渐近线方程为y＝± x， ∴设双曲线方程为 － ＝λ， ∵(2，－6)在双曲线上，∴ － ＝λ，解得λ＝－3， 故所求双曲线的标准方程为 － ＝1. (2)过点P(4，－3)的等轴双曲线； (3)渐近线方程为y＝± x，且过点(2，－6). 【例2】 已知方程 ＋ ＝1.求： (1)当k为何值时，该方程表示圆？ (2)当k为何值时，表示椭圆？当k为何值时，该方程表示焦点在x轴上的椭圆？ (3)当k为何值时，表示双曲线？当k为何值时，表示焦点在 ... ...
