16.1 二次根式及其性质 课件(共27张PPT)2025-2026学年沪科版数学八年级下册

(课件网) 16.1 二次根式及其性质 第16章 二次根式 学习目标 1.理解二次根式的概念；掌握二次根式有意义的条件.（重点） 2.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点） 3.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难点） 问题1 什么叫做平方根 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根. 问题2 什么叫做算术平方根 怎么表示它？ 如果 x2 = a (x≥0)，那么 x 称为 a 的算术平方根，用 表示. 问题3 什么数有算术平方根 非负数. 思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？ (1) 如图 的海报为正方形，若面积为 2 m2，则边长为_____m；若面积为 S m2，则边长为_____m． (2) 如图 的海报为长方形，若长是宽的 2 倍，面积为 6 m2，则它的宽为_____m． 图 图 问题1 这些式子分别表示什么意义？ 分别表示 2，S，3 的算术平方根． 上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ． ① 根指数都为 2； ② 被开方数为非负数. 问题2 这些式子有什么共同特征？ 二次根式的概念及有意义的条件 1 两个必备特征 ① 外貌特征：含有“ ” ② 内在特征：被开方数(式) a ≥0 一般地，我们把形如 的式子叫作二次根式.“ ”称为二次根号. 注意：a 可以是数，也可以是式. 归纳总结 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道： 二次根式的被开方数或式非负 二次根式的值非负 二次根式的双重非负性 当 a≥0 时， ≥0. 归纳总结 例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 解： (1)(4)(6)均是二次根式，其中 a2 + 1 属于“非负数+正数”的形式，一定大于零. (2)(3)(5)(7)均不是二次根式. 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析： 典例精析 例2 实数 x 为何值时下列式子有意义 解：(1) 要使 有意义，则 x + 3≥0. 解这个不等式，得 x≥-3. 所以当 x≥-3 时， 有意义. (2) 因为 x 为任何实数都有 x2≥0， 所以当 x 为一切实数时， 有意义. 【变式题1】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：由题意得 x - 1＞0， ∴ x＞1. 解：∵ 被开方数需大于或等于零， ∴ x +3 ≥0，∴ x≥-3. ∵ 分母不能等于零， ∴ x - 1 ≠ 0，∴ x ≠ 1. ∴ x≥-3 且 x ≠ 1. (2) 多个二次根式相加 (如 ) 有意义的 条件： (3) 二次根式作为分式的分母 (如 ) 有意义的条件： A＞0； (4) 二次根式与分式的和差 (如 ) 有意义的条件： A≥0 且 B ≠ 0. (1) 单个二次根式如 有意义的条件：A≥0； 归纳总结 1. 下列各式： . 一定是二次根式的有 （ ） A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 B 2. (1) 若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值 范围是_____； (2) 若式子 在实数范围内有意义，则 x 的 取值范围是_____. x≥1 x ≥0 且 x ≠ 2 练一练 例3 若 ，求 a - b + c 的值. 解： 由题意可知 a - 2 = 0，b - 3 = 0，c - 4 =0， 解得 a = 2，b = 3，c = 4. 所以 a - b + c = 2 - 3 + 4 = 3. 归纳总结：若多个非负式的和为零，则可得每个非负式均为零.初中阶段学过的非负式主要有绝对值式、偶次幂式及二次根式. 3. 已知 y = ，求 3x + 2y 的算术平方根. 解：由题意得 ∴ x = 3．∴ y = 8． ∴ 3x + 2y = 3×3 + 2×8 = 25． ∴ 3x + 2y 的算术平方根为 5． 练一练 1. 由于 是 2 的算术平方根，根据平方根的意义，应有 ( ) = 2. 类似地，计算： = ， 二次根式的性质 2 5 0 2. 类似地，计算： ， = ， 又如 ，再计算 . = ， 0.5 0 0.5 观察上式，你能得出什么结论呢？ 归纳总结 一般地，有 性质1 ＝a (a≥0). 性质2 a， (a≥0)， -a ，(a＜0). 0，(a≥0)， 例4 计算： ； . 解：(1) (2) 方法一： 方法二： 练 ... ...