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课件网) 第2章 圆 2．5 直线与圆的位置关系 2.5.4 三角形的内切圆 返回 C 1．下列说法错误的是( ) A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切 B．一个三角形一定有唯一一个内切圆 C．一个圆一定有唯一一个外切三角形 D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆 2. 某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，现要在绿地ABC内建一个休息点O，使它到AB，BC，AC三边的距离相等，下列作法正确的是( ) D 返回 3．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA.若∠CAI＝37°，则∠OBC的度数为( ) A．37° B．20° C．16° D．14° 返回 C 【点拨】根据点D是△ABC的内心，画出△ABC的内切圆⊙D，如图，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，DH⊥AC，垂足分别为点E，F，H，连接AD，CD.根据内切圆的性质可知，垂足E，F，H也是△ABC三边与⊙D的切点，∴DE＝DF＝DH， AE＝AH，BE＝BF，CF＝CH. 【答案】 C 返回 5. 我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．若直角三角形的内切圆半径为2，大正方形的面积为169，则小正方形的面积为_____． 49 返回 6．如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI，BI，延长AI分别交BC和⊙O于点D，E，连接BE. (1)求证： EB＝EI； 【证明】∵I是△ABC的内心， ∴AE平分∠CAB，BI平分∠ABC. ∴∠BAE＝∠CAE，∠ABI＝∠CBI. ∵∠BIE＝∠BAE＋∠ABI，∠IBE＝∠IBD＋∠EBD，∠CBE＝∠CAE，∴∠BIE＝∠EBI.∴EB＝EI. (2)若AB＝8，AC＝6，BE＝4，求AI的长． 返回 【点拨】如图．∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，△ABC的内切圆和外接圆是同心圆．设圆心为O，连接AO并延长，交BC于点D.易知AD⊥BC.设AC与△ABC的内切圆相切于点E，连接OE， 则OE⊥AC，根据题意得OE＝OD＝r， AO＝R，AD＝h，∴h＝R＋r，故A 正确，不符合题意； 【答案】 C 返回 返回 【答案】 C 24 设OE＝OC＝x，则AD＝AC＝14－x，BD＝BE＝13－x，∴13－x＋14－x＝15，解得x＝6.∴点P的坐标为(6，4)．∴k＝6×4＝24. 返回 10．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，E是BC边上一点，且BE＝2，点I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点D，P是BD上一动点，连接PE，PC，则PE＋PC的最小值为_____． 【点拨】如图，在AB上取点F，使BF＝BE＝2，连接PF，CF，过点F作FH⊥BC于点H.∵I是△ABC的内心，∴BI平分∠ABC.∴∠ABD＝∠CBD.又∵BP＝BP，BF＝BE，∴△BFP≌△BEP. ∴PF＝PE.∴PE＋PC＝ PF＋PC≥CF. 返回 11．如图，把Rt△OAB置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0, 4)，点B的坐标为(3, 0)，点P是Rt△OAB内切圆的圆心，将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第1次滚动后圆心为P1，第2次滚动后圆心为P2，…，以此规律递推，第2 025次后，Rt△OAB内切圆的圆心P2 025的 坐标为_____． (8 101，1) 返回 ∴P3(3＋5＋4＋1，1)，即P(13，1)，每滚动3次为一个循环．∵2 025÷3＝675，∴第2 025次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2 025的横坐标是675×(3＋5＋4)＋1＝8 101，∴P2 025的坐标为(8 101，1)． 12．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD＝∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC＝8，AD＝3. (1)求CE的长； 【解】∵AD是边BC上的中线，CE∥AD， ∴AD为△BCE的中位线．∴CE＝2AD＝6. (2)求证：△ABC为等腰三角形； 【证明】∵CE∥AD，∴∠BAD＝∠E，∠CAD＝∠ACE. ∵∠BAD＝∠CAD，∴∠ACE＝∠E.∴AE＝AC. 由(1)知AD为△BCE的中位线，∴AB＝AE.∴AB＝AC.∴△ABC为等腰三角形． (3)求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离． 【解】如图，作△ABC的内切圆⊙Q和外接圆⊙P，连接BP，BQ，CP，CQ，易得 ... ...
