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课件网) 2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课课件】 第26章 二次函数 26.3.2 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 y＝kx＋b y＝0 kx＋b＝0 一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx＋b＝0的解. 现在我们学习了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）和二次函数y＝ax2 ＋bx＋c（a≠0） ，它们之间是否也存在一定的关系呢？ 26.3.2 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 教学过程 幻灯片1：复习旧知，引发关联（5分钟） 师问1：回顾二次函数y＝ax ＋bx＋c（a≠0）的图象特征，当a＞0和a＜0时，抛物线的开口方向、最值情况分别是什么？（学生齐答：a＞0开口向上，有最小值；a＜0开口向下，有最大值） 师问2：一元二次方程ax ＋bx＋c＝0（a≠0）的解有几种情况？由什么决定？（学生回答：三种情况，由判别式Δ＝b －4ac决定，Δ＞0两不等实根，Δ＝0两相等实根，Δ＜0无实根） 师问3：同样含有“ax ＋bx＋c”，二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间是否存在内在联系？今天我们就从图象视角揭开它们的关联。 设计意图：分别激活三类知识的核心内容，以“共同表达式”为纽带制造认知关联，自然引出本节课探究主题。 幻灯片2：探究一：二次函数与一元二次方程的关系（15分钟） 任务1：画出二次函数y＝x －2x－3的图象，步骤如下： 1. 配方得y＝(x－1) －4，顶点(1,-4)，对称轴x＝1； 2. 找与x轴交点：令y＝0，解方程x －2x－3＝0，得x ＝-1，x ＝3，故交点为(-1,0)、(3,0)； 3. 描点连线，画出开口向上的抛物线。 小组讨论：结合图象思考，二次函数y＝ax ＋bx＋c与x轴的交点和一元二次方程ax ＋bx＋c＝0的解有什么关系？ 师生归纳： 1. 当Δ＞0时，抛物线与x轴有两个不同交点(x ,0)、(x ,0)，方程有两个不等实根x＝x 、x＝x （如y＝x －2x－3，Δ＝4＋12＝16＞0，交点横坐标即方程的解）； 2. 当Δ＝0时，抛物线与x轴有一个公共点（顶点），方程有两个相等实根x＝x ＝x ＝-b/(2a)（举例：y＝x －2x＋1，Δ＝0，交点(1,0)，方程解为x＝1）； 3. 当Δ＜0时，抛物线与x轴无交点，方程无实根（举例：y＝x －2x＋2，Δ＝4－8＝-4＜0，图象与x轴无交点）。 核心结论：二次函数y＝ax ＋bx＋c与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程ax ＋bx＋c＝0的实数根，判别式Δ决定了交点个数与方程根的情况。 幻灯片3：探究二：二次函数与一元二次不等式的关系（15分钟） 延续探究：以y＝x －2x－3的图象为载体，思考一元二次不等式的解集与函数图象的关系： 问题1：当x取何值时，y＞0？（即x －2x－3＞0） 图象分析：y＞0表示抛物线在x轴上方的部分，观察图象可知，当x＜-1或x＞3时，抛物线在x轴上方，故不等式x －2x－3＞0的解集为x＜-1或x＞3。 问题2：当x取何值时，y＜0？（即x －2x－3＜0） 图象分析：y＜0表示抛物线在x轴下方的部分，对应x的取值范围为-1＜x＜3，故不等式x －2x－3＜0的解集为-1＜x＜3。 变式探究：以y＝-x －2x＋3（a＜0，开口向下）为例，讨论不等式的解集： 1. 找与x轴交点：令y＝0，得x ＝-3，x ＝1； 2. y＞0（-x －2x＋3＞0）：抛物线在x轴上方部分，对应-3＜x＜1； 3. y＜0（-x －2x＋3＜0）：抛物线在x轴下方部分，对应x＜-3或x＞1。 分类总结：设一元二次方程ax ＋bx＋c＝0的两根为x ＜x （Δ＞0）： 函数与不等式 a＞0（开口向上） a＜0（开口向下） y＞0（ax ＋bx＋c＞0） x＜x 或x＞x x ＜x＜x y＜0（ax ＋bx＋c＜0） x ＜x＜x x＜x 或x＞x 特殊情况：当Δ＝0时，y≥0（a＞0）的解集为全体实数，y≤0（a＜0）的解集为全体实数；当Δ＜0时，a＞0则y＞0恒成立，a＜0则y＜0恒成立。 幻灯片4：典例解析，强化应用 ... ...
