专题05 相似三角形中A字型与8字型模型（4个知识点+4种题型） 一、模型梳理 1、“A”字模型 条件：如图，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC ＝＝. 2、反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B； 结论：△ADE∽△ACB ＝＝. 3、“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD； 结论：△AOB∽△COD ＝＝. 4、反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D； 结论：△AOB∽△DOC ＝＝. 二、题型突破 题型一、“A”字模型与反“A”字模型 例1.如图，点D，E 在BC 上，且,求证： 【变式1】如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts． （1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值． 题型二、“8”字模型与反“8”字模型 例2.如图，已知：，垂足分别为，与交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 【变式2】如图，在中，，是边上的中线，垂直平分，分别交，于，，连接，． (1)求证：． (2)当，时，求线段的长． 题型三、平行双“8”字模型 例3.如图，在中，点分别在上，且． （1）求证：； （2）若点在上，与交于点，求证：． 【变式3】如图，四边形是平行四边形， 点E是延长线上一点， 连结，，，分别与，交于点F， G． (1)若，， 求的长． (2)求证：． 题型四、“A”字模型与“8”字模型综合 例4.如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O，点M是AD的中点，连接MC交BD于点N，ON＝1． 求证：△DMN∽△BCN； 求BD的长； 若△DCN的面积为2，直接写出四边形ABNM的面积． 【变式4-1】如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作BF⊥DE于F点，交AC于H点，交CD于G点． (1)求证：△BGC∽△DGF； (2)求证：； (3)若点G是DC中点，求的值． 【变式4-2】【模型学习】 构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法．例如：如图①，D是的边上一点，E是的中点，过点C作，交的延长线于点F，可得到． 【初步运用】 （1）如图②，在正方形中，点E是上一点，点F是的延长线上一点，且满足，连接交于点G，过点E作交于点M，则和的数量关系为_____； 【深入探究】 （2）如图②，在（1）的条件下，连接并延长，交于点H，若，，求正方形的边长； 【拓展迁移】 （3）如图③，在矩形中，，点E在上，点F在的延长线上，且满足，连接交于点G．判断与之间的数量关系．专题05 相似三角形中A字型与8字型模型（4个知识点+4种题型） 一、模型梳理 1、“A”字模型 条件：如图，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC ＝＝. 2、反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B； 结论：△ADE∽△ACB ＝＝. 3、“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD； 结论：△AOB∽△COD ＝＝. 4、反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D； 结论：△AOB∽△DOC ＝＝. 二、题型突破 题型一、“A”字模型与反“A”字模型 例1.如图，点D，E 在BC 上，且,求证： 【分析】利用平行关系，找出对应角相等，即可证明相似． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ，， ∴． 【点拨】本题考查相似三角形的判定，解题关键找到需要的条件． 【变式1】如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts． （1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值． 【答案】（1），；（2）t＝3或 【分析】（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案； （2）分两种 ... ...
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