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课件网) 17.2 一元二次方程的解法 第17 章 一元二次方程 17.2.2 公式法 学习目标 1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程；(难点) 2. 会利用求根公式解简单系数的一元二次方程； (重点) 3. 经历探索求根公式的过程，培养逻辑推理和数学运算的核心素养，并养成良好的运算习惯； 4. 通过运用公式法解简单系数的一元二次方程，提高运算能力 . 1. 用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？ 2. 如何用配方法解方程 2x2 + 4x + 1 = 0 解：x2 + 2x = ，即 (x + 1)2 = ， 一移、移动常数项； 二配、[配上 ]； 三写、 写出(x + n)2 = p (p≥0)； 四开平方、直接开平方法解方程。 任何一个一元二次方程都可以化为一般形式： ax2 + bx + c = 0. 合作探究 求根公式的推导 思考 如何使用配方法得出任意一元二次方程解呢？ 配方法 x2 + px + ( )2 = (x + )2. 1 用配方法解一般形式一元二次方程 解： ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 方程两边都除以 a， 因为 a ≠ 0 ， 移项，得 配方，得 则 得 ∵ a ≠ 0， 4a2 > 0， ∴ 当 b2 - 4ac≥0 时， ≥0 . 将方程左右两边开平方，得 化简、整理得 当 b2 - 4ac＜0 时， 而 x 取任何实数都不能使上式成立， ∴ 此时方程无实数根. 这个式子叫作一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫作公式法.由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根. 由上可知，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根由方程的系数 a，b，c 确定. 因此，解一元二次方程时，先将方程化为 ax2 + bx + c = 0 的一般形式， 当 b2 - 4ac≥0 时，将 a，b，c 代入求根公式，就可以得出方程的实数根. 注意 使用公式法解一元二次方程的前提是： 1. 必须是一般形式的一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)； 2. 必须满足 b2 - 4ac≥0 才能代公式计算. 例1 用公式法解下列方程 (1) 2x2 + 7x - 4 = 0； (2) x2 + 3 = 2x. 解： (1) ∵ a = 2，b = 7，c = -4， 公式法解方程 代入求根公式，得 ∴ b - 4ac = 72 - 4×2×(-4) = 81 > 0. 所以原方程的根是 2 . (2) x2 + 3 = 2x. (2) 将原方程化为一般形式，得 x - 2x + 3 = 0. 所以原方程的根是 代入求根公式，得 ∴ b - 4ac = (-2)2 - 4×1×3 = 0. ∵ a = 1，b = -2，c = 3， 例2 解方程：x2＋x－1＝0 (精确到 0.001). 解：由题意，得 a＝1，b＝1，c＝－1， 用计算器求得： 代入求根公式，得 所以原方程的根是 x1≈0.618，x2≈－1.618. 例3 解方程：4x2 - 3x + 2 = 0. ∵ 在实数范围内负数不能开平方， ∴ 方程无实数根. 解： 公式法解方程的一般步骤 1. 变形：化已知方程为一般形式； 2. 确定系数：用 a，b，c 写出各项系数； 3. 计算：b2 - 4ac 的值； 4. 判断：若 b2 - 4ac≥0，则利用求根公式得解； 若 b2 - 4ac < 0，则方程没有实数根。 归纳总结 1. 解方程：x2 + 7x–18 = 0. 解：这里 a = 1，b = 7，c = -18. ∵ b2 - 4ac = 72 – 4 × 1× (-18 ) = 121 > 0， ∴ 即 x1 = -9，x2 = 2. 2. 解方程 (x–2) (1–3x) = 6. 解：去括号，得 x–2 - 3x2 + 6x = 6. 化为一般式，得 3x2 - 7x + 8 = 0. 这里 a = 3，b = -7，c = 8， ∴ b2 - 4ac = (-7 )2 – 4×3×8 = 49–96 = -47 < 0. ∴ 原方程没有实数根。 3. 解方程：2x2 - x + 3 = 0. 解： 这里 a = 2，b = ，c = 3. ∵ b2 - 4ac = 45 - 4×2×3 = 21 > 0 , ∴ ∴ x1 = , x2 = 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（求 b2 - 4ac 的值）； 四判（方程根的情况）； 五代（代求根公式计算）。 务必将方程化为一般形式 ... ...
