圆：垂径定理、圆周角定理、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系 期末培优复习讲义 考点目录 垂径定理 圆周角定理 点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 【知识点解析】 1.垂径定理 （1）定理内容：垂直于弦的直径，平分这条弦，且平分弦所对的两条弧（劣弧和优弧）. （2）图形与符号语言：中，直径弦于点，则，,. 2.垂径定理的推论 垂径定理的逆定理有多个等价表述，本质是 “知二推三”，只要满足以下 5 个条件中的任意 2 个，就能推出另外 3 个. （1）过圆心（直线是直径 / 半径所在直线）； （2）垂直于弦； （3）平分弦（非直径）； （4）平分弦所对的劣弧； （5）平分弦所对的优弧 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，是的两条弦，，垂足为D，若的直径为5，，则的长为（ ） A． B． C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴，， ∵的直径为5， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 例2．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）如图，是圆的直径，弦，且，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ，， ，， ， ， 在中，， ， ， 弧的长为． 故选：C． 例3．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，在菱形中，边长，对角线，交于点E，过B，C，D的圆O交延长线于点F．若O为的中点，则圆O的半径长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解∶连接，设， 因为O为的中点， 所以， 又四边形是菱形，、是对角线， 所以，， 又半径， 所以， 又，， 所以， 所以， 解得：或（舍去）， 所以， 故选：C． 例4．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）如图，在中，点、、在圆上，且，垂足为，若，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：，是 半径， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 例5．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱门的半径为，则该拱门的高为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 由垂径定理得，半径， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 例6．（25-26九年级上·广东中山·期中）如图，为的直径，弦于点E，若，则的半径为 ． 【答案】5 【详解】解：连接， ∵为的直径，， ∴， 在中，， ∴，即． 解得，． 故答案为：5． 例7．（25-26九年级上·福建福州·期中）连江丹阳贝里溪蟹谷景区有一排圆形拱门，其底端恰好与水平地面相切，如图1所示．小明同学只用了一把1米长的直尺，用如图2所示的测量示意图测量并计算出圆形拱门的直径，他具体的测量方式是：先将直尺水平放在圆形拱门内，取直尺的中点，定位后测量点到圆的最低点的距离为米，根据圆的相关性质可知圆心，中点，最低点在同一条直线上．请结合以上信息与示意图，求出圆形拱门的直径． 【答案】圆形拱门的直径为 【详解】解：连接，如图所示： 设为，则， 由，得， 为的中点，， ， 为半径，为弦的中点， ， 在中，根据勾股定理得：， 则， 解得：， ． 答：圆形拱门的直径为． 例8．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)． 【详解】（1）证明：∵点、、在上，于点， ∴， ∴垂直平分， ∴． （2）解：∵点在圆上，是的直径， ∴， ∵点在上，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·黑龙江·月考）如图，是的外接圆，，于点，，则的长为（ ） A． B． C．8 D．12 【答案】A 【详解】解：∵，圆心角与圆周角所对的弧都为弧， ∴， ∵， ... ...
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