微专题10 排列组合与二项式定理 1.排列数与组合数的公式和性质 排列数 组合数 公式 A＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)＝ C＝＝ ＝ 性质 0！＝1，A＝n！ C＝1，C＝C，C＋C＝C，nC＝kC 2.二项式定理 (1)二项式定理： (a＋b)n＝Can＋Can-1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*) (2)二项式系数： C(k＝0，1，2，…，n). (3)二项展开式的通项： Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项． 3.二项式系数的性质 (1)对称性：C＝C. (2)增减性：当k<时，二项式系数递增；当k>时，二项式系数递减． (3)最大值：当n是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值，为Cn；当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，为Cn与Cn. (4)各二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝2n. (5)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n-1. 微点一 两个计数原理 例1 (1)(2023·全国甲卷)现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有 ( ) A．120种 B．60种 C．30种 D．20种 (2)(2024·新课标Ⅱ卷)在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有_____种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是_____． 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 [听课记录]_____ _____ 训练1 (1)(2025·荆州模拟)电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0～255.在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为 ( ) A．2563 B．27 C．2553 D．6 (2)编号为A，B，C，D，E的5种蔬菜种在如图所示的五块实验田里，每块只能种一种蔬菜，要求A品种不能种在1，2试验田里，B品种必须与A品种在相邻的两块田里，则不同的种植方法种数为 ( ) A．24 B．30 C．36 D．54 微点二 排列与组合 例2 (1)(2025·长春模拟)某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为 ( ) A．12 B．18 C．20 D．60 (2)2025年4月24日神舟二十号发射成功，神十九与神二十乘组航天员在太空会师，6名航天员分两排合影留念，若从神十九和神二十每组的3名航天员中各选1人站在前排，后排的4人要求同组的2人必须相邻，则不同的站法有 ( ) A．72种 B．144种 C．180种 D．288种 [听课记录]_____ _____ 求解排列与组合问题的方法 (1)直接法：相邻问题采用“捆绑法”，不相邻问题采用“插空法”．解决定序问题，可先不考虑顺序限制，排好后，再除以定序元素的全排列数． (2)间接法：对于分类过多的问题，一般利用间接法求解.训练2 (1)将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额，则不同的分配方案种数为 ( ) A．15 B．35 C．56 D．70 (2)某校大一新生A，B，C，D欲加入该校的文学社、书法社、羽毛球社．已知这4名大一新生每人只加入了1个社团，则这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况有 ( ) A．21种 B．30种 C．42种 D．60种 微点三 二项式定理 例3 (1)(2025·泰安一模)若(－2x)n的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为 ( ) A．－240 B．－60 C．60 D．240 (2)(2025·北京高考)已知(1－2x)4＝a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4，则a0＝_____；a1＋a2＋a3＋a4＝_____． (3)(x＋y)7的展开式中x2y5的系数为36，则a的值为_____． [听课记录]_____ _____ (1)求(a＋b)n的展开式中的特定项一般要应用通项Tk＋1＝Can－kbk(k＝0，1，2，…，n). (2)求两个因式积的特定项 ... ...
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