5 立体几何中的动态问题 立体几何中的动态问题是高考的热点， 指的是求由点、线、面的变化引起的相关变量的取值范围或最值问题．解题时需要我们正确揭示空间图形与平面图形的联系，并有效地实施空间图形与平面图形的转换，要善于将空间问题转化为平面问题，同时也要牢牢抓住几何体的结构特征，熟练掌握有关计算公式． 类型一 轨迹问题 例1 (2025·太原模拟)(多选题)已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为正方形ABCD所在平面上一动点，则下列说法正确的是 ( ) A．若MN与平面ABCD所成的角为，则点N的轨迹为圆 B．若MN＝4，则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2π C．若点N到直线BB1与直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线 D．若D1N与AB所成的角为，则点N的轨迹为双曲线 [听课记录]_____ _____ _____ 训练1 (2025·淄博一模)(多选题)如图，棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，P，Q分别是棱CC1，BC的中点，动点M满足＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则下列结论正确的是 ( ) A．若λ＋μ＝1，则CM⊥DB1 B．若λ＝μ，则三棱锥B1 AMC的体积为定值 C.若μ＝，0≤λ≤1，则直线PM与直线BC所成角的最小值为60° D．若动点M在三棱锥C DPQ外接球的表面上，则点M的轨迹长度为π 类型二 截面问题 例2 (多选题)正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为6，P，Q分别是棱A1B1，A1D1的中点，过P，Q，C作正方体的截面，则 ( ) A．该截面是五边形 B．三棱锥C C1PQ外接球的球心在该截面上 C．该截面与底面ABCD夹角的正切值为 D．该截面将正方体分成两部分，较小部分的体积为75 [听课记录]_____ _____ 训练2 (多选题)如图，棱长为2的正四面体ABCD中，M，N分别为棱AD，BC的中点，O为线段MN的中点，球O的表面正好经过点M，则下列结论中正确的是 ( ) A．AO⊥平面BCD B．球O的体积为 C．球O被平面BCD截得的截面面积为 D．球O被正四面体ABCD表面截得的截面周长为 类型三 翻折问题 例3 (多选题)如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠D＝60°，沿AC将△DAC翻折至△SAC，连接SB，得到三棱锥S ABC，E是线段SA的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是 ( ) A．在棱SB上总存在一点F，使得EF∥平面ABC B．当SB＝3时，三棱锥S ABC的体积为 C．当平面SAC⊥平面ABC时，SB＝ D．当二面角S AC B为120°时，三棱锥S ABC的外接球的半径为 [听课记录]_____ _____ 训练3 (多选题)在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱ABC A1B1C1展开得到平面图，如图所示，∠ABC＝90°，AA1＝AB，P为AB1的中点，Q为A1C的中点，则在原直三棱柱ABC A1B1C1中，下列说法正确的是 ( ) A．P，Q，C，B四点共面 B．A1C⊥AB1 C．几何体A PQCB和直三棱柱ABC A1B1C1的体积之比为 D．当BC＝AB时，A1C与平面ABB1所成的角为45° 类型四 最值、范围问题 例4 (多选题)如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，动点P在体对角线BD1上(含端点)，则下列结论正确的有 ( ) A．当P为BD1的中点时，∠APC为锐角 B．存在点P，使得BD1⊥平面APC C．AP＋PC的最小值为2 D．顶点B到平面APC的最大距离为 [听课记录]_____ _____ _____ 立体几何中有关距离的最值、角的最值、面积的最值等问题的常用求解方法： (1)几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值． (2)代数法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及基本不等式等，求出最值． (3)向量法：借助空间向量构造函数求解最值． 训练4 在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面四边形BCC1B1内(不含边界)一点．若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是_____． 进阶点5 立体几何中的动态问题 ... ...
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