微专题12　专项1　离散型随机变量的均值与方差（课件 学案 练习）2026届高中数学二轮专题复习

微专题12　随机变量及其分布 1.若离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，且X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n)，则： (1)pi≥0，i＝1，2，…，n； (2)i＝1； (3)E(x)＝ipi； (4)D(X)＝(xi－E(X))2pi. 2．随机变量的数学期望与方差的相关公式 (1)若E(η)和E(ξ)都存在，则E(ξ＋η)＝E(ξ)＋E(η). (2)若η＝aξ＋b，则E(η)＝aE(ξ)＋b，D(η)＝a2D(ξ). (3)期望与方差的转化：D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2. 3．几个特殊分布的期望与方差 (1)二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). (2)超几何分布：假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，X表示抽取的n件产品中的次品数，则随机变量X服从超几何分布，E(X)＝＝np(p为N件产品的次品率)，D(X)＝(1－). (3)正态分布：若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 专项1　离散型随机变量的均值与方差 微点一　分布列的性质及应用 例1　(1)设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1，2，5)，a∈R，E(ξ)，D(ξ)分别为随机变量ξ的数学期望与方差，则下列结论正确的是 (　　) A．P(0<ξ<3.5)＝ B．E(3ξ＋2)＝7 C．D(ξ)＝2 D．D(3ξ＋1)＝6 (2)(多选题)已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 则下列结论正确的是 (　　) A．m＝ B．E(X)＝ C．E(2X－1)＝ D．D(X)＝ [听课记录]_____ _____ _____ 分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性． (2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．训练1　(1)(多选题)设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P q 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结论正确的有 (　　) A．q＝0.1 B．E(X)＝2，D(X)＝1.4 C．E(X)＝2，D(X)＝1.8 D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2 (2)(多选题)随机变量ξ的分布列如表，其中xy≠0，则下列说法正确的是 (　　) ξ 0 1 2 P x A.x＋y＝1 B．E(ξ)＝ C．D(ξ)有最大值 D．D(ξ)随y的增大而减小 微点二　定义法求离散型随机变量的均值与方差 例2　(1)(2025·全国一卷)有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球．记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)＝_____. (2)(2025·梅河口模拟)某校高一年级开设建模，写作，篮球，足球，音乐，朗诵，素描7门选修课，每位同学须彼此独立地选3门课程，其中甲选择篮球，不选择足球，丙同学不选素描，乙同学没有要求． ①求甲同学选中建模且乙同学未选中建模的概率； ②用X表示甲、乙、丙选中建模的人数之和，求X的分布列和数学期望． 求随机变量X的均值与方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X的所有可能值； (2)求X取每个值时对应的概率； (3)写出X的分布列； (4)由均值定义求出E(X)； (5)由方差定义求出D(X).训练2　为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项．根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下： 奖项组别 个人赛 团体赛获奖 一等奖 二等奖 三等奖 高一 20 20 60 50 高二 16 29 105 50 (1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率； (2)从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中团体赛获奖的人数，求X的分布列和数学期望； (3)从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自高一的人数为ξ，来自高二的人数为η，试判断D(ξ)与D(η)的大小关系．(结论不要求证明) 专项1　离散型随机变量的均值与方差 例1　(1)C　解析　随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1，2 ... ...