专项2 三类分布模型及应用 微点一 二项分布 例1 (2025·安徽五校联考)某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题(3个问题相互独立)，设X表示智能客服的回答被采纳的次数．求X的分布列、期望及方差． 二项分布概率模型的解题策略 (1)求解二项分布问题的“四关”：一是“判断关”，即判断离散型随机变量X是否服从二项分布；二是“公式关”，若该随机变量服从二项分布，还需要通过古典概型或相互独立事件的概率计算公式计算出概率p，然后利用P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，求出X取各个值时的概率；三是“分布列关”，列出表格，得到离散型随机变量的分布列；四是“结论关”，分别利用公式E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)，求期望和方差． (2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时可以应用均值与方差的性质求解，即利用E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)求解． 训练1 (2025·安庆模拟)DeepSeek席卷全球引发了AI浪潮．某中学为丰富学生个性化学习生活，组织成立DeepSeek应用学生社团组织，成立数据运用、模型设计、场景分析、迁移学习四个学生社团并计划招募成员，由于报名人数超过计划数，将采用随机抽取的方法确定最终成员．下表记录了四个社团的招募计划人数及报名人数． 社团 计划人数 报名人数 数据运用 50 100 模型设计 60 m 场景分析 n 160 迁移学习 160 200 甲同学报名参加这四个学生社团，记ξ为甲同学最终被招募的社团个数，已知P(ξ＝0)＝，P(ξ＝4)＝. (1)求甲同学至多获得三个社团招募的概率； (2)求甲同学最终被招募的社团个数的期望． 微点二 超几何分布 例2 北方某市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核，记考核成绩不小于80分的为优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了60名学生的考核成绩，如下表． 成绩 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 人数 5 5 15 25 10 (1)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据表中数据，估计这名学生考核优秀的概率； (2)用分层随机抽样的方法，在考核成绩为[70，90)的学生中任取8人，再从这8人中随机选取4人，记取到考核成绩在[80，90)的学生人数为X，求X的分布列和数学期望． 求超几何分布的分布列的解题模型 (1)对于超几何分布，首先要确定参数N，M，n的值． (2)明确随机变量的所有可能取值，以及随机变量取每一个值时对应的k值． (3)将k的值一一代入超几何分布的概率计算公式，求出对应概率． (4)写出分布列． (5)利用公式求期望值．训练2 某企业举行“猜灯谜，闹元宵”趣味竞赛活动，每个员工从8道谜语中一次性抽出4道作答．小张有6道谜语能猜中，2道不能猜中；小王每道谜语能猜中的概率均为p(0
2)>0.2 B．P(X>2)<0.5 C．P(Y>2)>0.5 ... ... 