北京师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

2025北京北师大附中高三 12月月考 数 学 班级：_____ 姓名：_____ 学号：_____ 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项. x M = x | 1 x 3 N = x | 2 2 1. 设集合 ， ，则集合M N =（ ） A. 1,1 B. 1,3 C. 1,0 D. ( ,3 2. 已知 z i = 2 i （i 为虚数单位），则 z =（ ） A. 2 B. 5 C. 1+ 2i D. 2 + i 3. 下列函数中，是偶函数，且在 ( , 0)上是减函数的是（ ） 2 f (x) = tanx f (x) = ex xA. B. + e C. f (x) = cosx D. f (x) = x 3 4. 设数列 an 是等差数列，a1 + a3 + a5 = 6， a7 = 6，则这个数列的前 9 项和等于（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 5. 已知 x, y R ，且 x+ y 0，则（ ） 1 1 3 3 A. + 0 B. x + y 0 x y C. lg(x + y) 0 D. sin(x + y) 0 x 2 y 2 y2 x2 6. 若双曲线C1 : =1与C : =1具有相同的渐近线，则C2 的离心率为（ ） 4 2 2 a2 b2 6 A. B. 2 C. 3 D. 6 2 lnx , x 0 7. 已知函数 f (x) = ，若函数 g (x) = f (x) x k 恰有 2 个零点，则实数 k的取值范围是（ ） ex , x 0 A. 1,e) B. ( , 1 e,+ ) C. ( 1,1 D. ( , 1) 1,+ ) 8. 二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21 21大小的，即 441 个点，根据 0 和 1 的二进制编 码，一共有 2441种不同的码.假设我们 1 秒钟用掉 1 万个二维码，1 万年约为3 10 11 秒，那么大约可以用 （ ）（参考数据： lg 2 0.3,lg3 0.5 ） A. 10117 万年 B. 117 万年 C. 10205 万年 D. 205 万年 第1页/共15页 9. 设 AC和 BC的夹角为 ， AB + 2BC AC BC 是 为锐角的（ ）条件 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 数列 an 的前 n项和为 Sn，且对任意正整数 n，总存在正整数m，使得 Sn = am ，则下列命题中正确 的是（ ） A. 对任意正整数 n，总存在正整数m，使得 an = Sm B. 数列 an 一定是等差数列 C. 存在公比为正整数的等比数列 an 满足条件 D. 对任意正整数 k，总存在正整数m、 n，使得ak = am an 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11. 已知点 A(2,4)在抛物线C : y2 = 2px上，则 A到抛物线 C的准线的距离为_____． 12. 已知正方体 ABCD A1B1C1D1中，E 为C1D1的中点，则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为 . π 13. 已知 f (x) = sin x ( N* )，若在区间 0, 上存在两个不相等的实数 a，b，满足 f (a)+ f (b) = 2 ， 2 则 可以为_____．（填一个值即可） 2 14. 已知圆M : (x 2) + y2 =1，点 P为直线 l : x = 1上一动点，过 P作圆 M的两条切线，切点分别为 A、B．线段 PA长度的最小值为_____，直线 AB所经过的定点的坐标为_____． 15. 如图所示，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，BB1 = B1D1 ，点 E是棱CC1 上的一个动点，若平面BED1 交棱 AA1 于点 F，给出下列命题： ①四棱锥 B1 BED1F的体积恒为定值； ②存在点 E，使得 B1D ⊥平面 BD1E； ③对于棱CC1 上任意一点 E，在棱 AD上均有相应的点 G，使得CG / / 平面EBD1； ④存在唯一的点 E，使得截面四边形 BED1F 的周长取得最小值． 其中真命题的是_____．（填写所有正确答案的序号） 三、解答题共 5 小题，共 85 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 第2页/共15页 16. 正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，底面 ABCD的边长为 2， AA1 = 4，P为DD1上一点． （1）若 P为DD1中点，求证： BD1 / / 平面 ACP． （2）若DP =1，求证：B1D ⊥ AP． B +C 17. 在 ABC中， a = 2 7 ，bsin = asinB． 2 （1）求 A； （2）从下列三个条件中选择一个作为已知，使得 ABC存在且唯一，求 BC边上的高 h． 7 条件①：b + c = 8；条件②： cosC = ；条件③：b = 4 ． 14 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择 ... ...