湖北省随州市2026届高三上学期1月期末质量检测数学试卷（含解析）

湖北省随州市2025-2026学年高三上学期1月期末质量检测数学试题 一、单选题 1．已知全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 2．函数的极大值点为（ ） A．0 B． C． D． 3．在梯形中，，，则（ ） A． B． C． D． 4．一个装有水的圆柱形玻璃杯，测得其内部半径为，将一个半径为的玻璃球完全浸入水中，水没有溢出，则杯中水面上升了（ ） A． B． C． D． 5．已知圆与抛物线交于A，B两点，若为正三角形，则（ ） A． B． C． D． 6．已知函数是定义在上的偶函数，对任意不相等的两个正实数，，恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 7．某操场的正前方有两根高度均为、相距6m的旗杆，（两根旗杆都与地面垂直）．有一条10m长的绳子，两端系在两根旗杆的顶部B，D处，中间某处系在地面的点，并按如图所示的方式绷紧，使得绳子和两根旗杆处在同一个平面内，假定这条绳子的长度没有改变，则（ ） A． B． C． D．1m 8．在正项数列中，，，且，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若复数，，则（ ） A．的实部为1 B．的虚部为 C．为纯虚数 D． 10．在等差数列和等比数列中，，，数列的前项和为，则（ ） A．的公差为3 B．的公比为2 C． D． 11．平面中有个不同的点，且任意3点均不共线．从某点开始与其他点连线（连线均为线段），笔不能离开纸面，也不能与任何一条线段重合（可以重复经过线段上的一个点），最后到达某个点结束，这个图形为一个“通路”．在“通路”中，若起点和终点重合了，则这个图形为一个“回路”．对于下列三个图形，结论正确的有（ ） A．在图1中，可以绘制7个不同的“通路” B．在图2中，可以绘制18个仅由3条线段组成的不同的“通路” C．在图2中，可以绘制7个不同的“回路” D．在图3中，可以绘制37个至多由5条线段组成的不同的“回路” 三、填空题 12．假设某超市今年上半年每个月的销售额（单位：万元）与广告支出（单位：万元）的经验回归方程为．若该超市计划明年5月份的销售额为10万元，则估计该超市明年5月份的广告支出为 万元． 13．若，且，则 ， ． 14．如图，单位圆的圆心为坐标原点，将轴右侧半圆上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到曲线．若水平直线与曲线交于点，则的最大值为 ． 四、解答题 15．已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)若的面积为，求的最小值． 16．如图1，在中，，，D，E，F分别是，，的中点．将沿着线段翻折至的位置，连接，，得到四棱锥，如图2所示，连接． (1)证明：． (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 17．如图，甲、乙准备玩跳格子游戏，规则如下：每一轮游戏先进行成语接龙，获胜的人等可能地前进1格或2格，失败的人原地不动，一轮游戏结束．在成语接龙中，甲获胜的概率为，没有平局，且每轮比赛的结果都相互独立． (1)求第1轮游戏结束，甲前进2格的概率； (2)求第2轮游戏结束，甲前进的格数比乙前进的格数大的概率； (3)若第3轮游戏结束，甲前进的格数与乙前进的格数之和为，求的分布列与数学期望． 18．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求； (3)若函数有且只有两个零点，求的取值范围． 19．已知是双曲线的右焦点，且经过点． (1)求的标准方程． (2)已知斜率为的直线与的右支相交于A，B两点，直线，的一个方向向量分别为，，，且． （ⅰ）求． （ⅱ）判断是否过定点．若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 参考答案 1．B 【详解】根据补集的概念可知，. 故选：B. 2．A 【详解】由题意得， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以的极大值点为0． 故选：A. 3．D 【详解】在梯形中，，， 所以． 故选：D. 4．B 【详解】因为玻璃球的半径为，可得玻璃球的体积 ... ...