数列的极限

极限 导数 知识结构网络 13．2 数列极限 一、考纲定位 1．理解数列极限的概念，掌握数列极限的运算法则; 2．会通过恒等变形，依据数列极限的运算法则，依据极限为0的几种形式，求数列的极根; 3．会求公比绝对值小于1的无穷等比数列各项的和． 二．建构知识网络 1．数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a（即|an－a|无限地接近于0），那么就说数列{an}以a为极限． 注：a不一定是｛an｝中的项． 2．几个常用的极限： ①C=C（C为常数）; ②=0; ③qn=0（|q|＜1）． ④无穷等比数列{an},当公比的绝对值|q|<1时,前n项和的极限．称之为“各项和”或“所有项的和”,记做S. 3．数列极限的四则运算法则：设数列｛an｝、｛bn｝， 当an=a, bn=b时， (an±bn)=a±b; (an·bn)=a·b; =(b≠0)． 说明: 极限的四则运算法则,只适合于有限次的四则运算． 对于数列前n项和的极限,必须先求和(式),再取极限． 三、双基题目练练手 1．下列极限正确的个数是 ①=0（α＞0） ②qn=0 ③=－1 ④C=C（C为常数） A．2 B． 3 C．4 D．都不正确 2．(2006陕西) 等于( ) A． 1 B． C． D． 0 3． 已知a、b、c是实常数，且=2, =3,则的值是 A．2 B．3 C． D．6 4．（2006重庆） 。 5． 将无限循环小数化为分数是_____ 6． =_____ 简答:1-3．BBD； 3．由=2,得a=2b． 由=3,得b=3c,∴c=b． ∴=6．∴== =6． 4． ．分子先求和,再求极限． 5． 6． －1 四、经典例题做一做 【例1】 求下列极限： （1）; （2） （; （3）（++…+）． 分析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n2后再求极限；（2）因与n都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限． 解:（1）==． （2） （－n）= ==． （3）原式===（1+）=1． ◆特别提示::对于（1）要避免下面两种错误：①原式===1,②∵（2n 2+n+7）, （5n2+7）不存在，∴原式无极限．对于（2）要避免出现下面两种错误： ①（－n）= －n=∞－∞=0;②原式=－n=∞－∞不存在．对于（3）要避免出现原式=++…+=0+0+…+0=0这样的错误． 【例2】 已知数列｛an｝是由正数构成的数列，a1＝3，且满足lgan＝lgan－1＋lgc，其中n是大于1的整数，c是正数． （1）求数列｛an｝的通项公式及前n和Sn； （2）求的值． 解:（1）由已知得an＝ｃ·an－1, ∴｛an｝是以a1＝3，公比为c的等比数列，则an＝3·ｃn－1． ∴Sn＝ （2） ＝． ①当c=2时，原式＝－; ②当ｃ＞2时，原式＝＝－; ③当0＜ｃ＜2时，原式=＝． 评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用． 五．提炼总结以为师 1． 极限的四则运算法则只用于有限次的运算,对于n项和的极限,要先求和再求极限; 2． 对 型的极限，要分别通过“约去使分母为零的因式、同除以分子、分母的最高次幂、有理化分子”等变形，化归转化后再求极限值。 3． 对含参数的题目要看是否需要分类讨论; 4．在日常学习过程中,注意化归思想、分类讨论思想和极限思想的运用． 同步练习 【选择题】 1． ［n（1－）（1－）（1－）…（1－）］等于 ( ) A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2003北京）若数列{an}的通项公式是 an=,n=1,2,…,则 （a1+a2+…+an）等于 A． B． C． D． 3．（2004湖南）数列{an}中,a1=,an+an+1=,n∈N*,则（a1+a2+…+an）等于 A． B． C． D． 【填空题】 4． (2006山东)若，则常数 。 5．（2004 上海）设等比数列{an}（n∈N）的公比q=－,且（a1+a3+a5+…+a2n－1）=,则a1=_____． 6．（2004春上海）在数列{an}中，a1=3，且对任意大于1的正整数n,点（,）在直线x－y－=0上，则=_____． 简答．提示：1-3．CCC; 1． 原式=［n××××…×］ ==2． 2． an= ∴ ... ...