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课件网) 罗湖区新质课堂同课异构交流课 综合与实践 猜想、证明与拓广 罗湖外语初中学校：戴德明 雷总：小帅，我们近年小米的业绩持续攀升，现在世界500强都积极在深圳南山超级总部基地建设自己的超级总部，我们也不能落后。我想再建一个新的小米总部大厦，占地面积是现在的2倍，周长也要是现在的2倍，资金不是问题，现在马上给我一个高大上的设计方案。 迷之自信的雷总 瑟瑟发抖的小帅 雷总，我现在就让罗湖外语初中学校的同学们进行实践与探究，40分钟后给你方案。 任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍 你是怎么做的 你有哪些解决方法 探究活动一 ：正方形的“倍增”问题 周长、面积倍增2倍？ 知识回顾：拼图实践 将两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大正方形 1 1 1 1 ① ② ③ ④ ① ② ③ ④ 剪、拼 结论：正方形的面积扩大2倍，周长扩大倍，所以，不存在面积和周长同时扩大为原2倍的正方形。 任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍 你是如何解决的？请与你的同伴交流。 探究活动二 ：矩形的“倍增”问题 探究1 【特殊】如果已知矩形的长和宽分别为2和1，你能找到满足上页要求的矩形吗 你有哪些解决方法 周长、面积倍增2倍？ 2 1 周长=6 面积= 面积=2 周长= 12 4 方法一： 解：设所求矩形的长为x，那么它的宽为，周长是2(x+).根据题意，得 2(x+)=12. 经检验，解得x1=3+x2=3-. 先固定所求矩形的面积为4的，这样矩形也有很多，观察其中是否有周长为12的矩形 周长、面积倍增2倍？ 2 1 周长=6 面积=4 面积=2 周长=12 x 2(x+) 方法二： 先固定所求矩形的周长为12，这样的矩形有很多，观察其中是否有面积为4的矩形 解：设所求矩形的长为x，那么它的宽为6-x，面积是x(6-x).根据题意，得 x(6-x)=4. 解得x1=3+x2=3-. 周长、面积倍增2倍？ 2 1 周长=6 面积=4 面积=2 周长=12 x 6-x x(6-x) 方法三： 解：设所求矩形的长和宽分别为x和y，根据题意，得 x+y=6. xy=4. 解得： 周长、面积倍增2倍？ 2 1 周长=6 面积=4 面积=2 周长=12 x y 如果只讨论存在性，是不是必须把解求出来？你能有其他办法吗？ 结论：已知矩形的长和宽分别为2和1，存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍. 解：设所求矩形的长和宽分别为x和y， 根据题意，得 x+y=6. xy=4. y=-x y= 一次函数 反比例函数 方程组求解的问题 求函数图象交点的问题 函数图象法 转化 y=-x y= 【特殊到一般】当已知矩形的长和宽分别为m和n时， 是否还有相同的结论 猜想：任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍. 试着验证一下吧！ 猜想环节 证明环节 猜想 任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍. 证明：设给定的矩形的长m和宽分别为和n. 设所求矩形的长为x，那么它的宽为2(m+n)-x.根据题意， 周长、面积倍增2倍？ m n 面积=2mn 面积=mn x 2(m+n)-x 请你小结？ 得： x[2(m+n)-x]=2mn. 化简得： x2-2(m+n)x+2mn=0. 判别式：b2-4ac=4(m+n)2-4×2nm=4(m2+n2) >0 结论 拓广环节 刚才研究的是矩形的“倍增”问题.接下来，我们研究矩形的“减半”问题：任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？ 这个结论是肯定的.理由是： 既然任何一个矩形的周长和面积可以同时“加倍”,那么原矩形自然满足新矩形的“减半”要求，即原矩形的周长和面积分别是新矩形周长和面积的一半. 你同意小明的观点吗？ 任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周 ... ...
