4.5 解直角三角形 考点一 锐角三角函数 ▼ 1.定义：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A为△ABC中的一个锐角，则有 ∠A的正弦：sin A＝＝ . ∠A的余弦：cos A＝＝ . ∠A的正切：tan A＝＝ . 2.特殊角的三角函数值 α三角函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 [练对点一] 1.(2025·定西模拟)在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则下列三角函数值正确的是 ( C ) A.sin A＝ B.cos A＝ C.tan A＝ D.sin B＝ 考点二 直角三角形边角关系 ▼ 3.直角三角形边角关系 已知条件 解法 图示 已知一条直角边和一个锐角(a，∠A) ∠B＝90°－∠A， AB＝，AC＝ (或AC＝) 已知斜边和一个锐角(c，∠A) ∠B＝90°－∠A， BC＝ c·sin A ， AC＝c·cos A(或AC＝) 已知两条直角边(a，b) AB＝ ，由tan A＝，求出∠A，∠B＝90°－∠A 已知斜边和一条直角边(c，a) AC＝， 由sin A＝求出∠A， ∠B＝90°－∠A [练对点二] 2.(2025·凉州区一模)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知∠BDC＝45°，BD＝10，AB＝20，则∠ABD＝ 15° . 第2题图 3.(2025·武都区三模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过点D作AB的垂线交AC于点E，BC＝6，sin A＝，则DE的长为 . 第3题图 考点三 解直角三角形的实际应用 ▼ 4.解直角三角形的实际应用 相关概念 图示 仰角、 俯角 在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角 坡度(坡 比)、坡角 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫坡角.坡度等于坡角的正切值，即i＝tan α＝ 方位角 一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度，如图所示，点A位于点O的北偏东30°方向，点B位于点O的南偏东60°方向，点C位于点O的北偏西45°方向(或西北方向)，注：方位角只能描述为北偏西(东)或南偏西(东) 【温馨提示】在解直角三角形的实际应用中，计算结果经常会要求取近似数：一个近似数四舍五入到哪一位就说这个近似数精确到哪一位.如：3.146 5保留整数是 3 ，精确到0.1为 3.1 ，精确到0.01为 3.15 . 【方法归纳】 1.解决直角三角形的实际问题，常结合视角知识通过作辅助线构造“直角三角形”，进而利用三角函数进行求解，常见辅助线的作法和基本图形的构造如下所示： (1)构造一个直角三角形 (2)构造两个直角三角形 ①不同地点测量： ②同一地点测量： 2.解直角三角形应用题的一般步骤 第一步：分析———理解题意，分清已知与未知，画出示意图. 第二步：建模———根据已知条件与求解目标，把已知条件与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解直角三角形的数学模型. 第三步：求解———利用三角函数有序解出三角形，求得数学模型的解. 第四步：检验———检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解. [练对点三] 4.我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如图，两条伞骨所成的角∠BAC＝130°，点D在伞柄AP上，AE＝AF＝DE＝DF＝m，则AD的长度可表示为 ( D ) A.msin 65° B.mcos 65° C.2msin 65° D.2mcos 65° 5.新情境·地方特色(2025·甘肃一模)“金娃娃”雕塑是金昌的城市主雕，矗立在甘肃省河西走廊东段的金昌市人民文化广场上(图1)，顶端的“金娃娃”是雕塑的主体，神情并茂.某数学兴趣小组开展了“测量金娃娃高度”的实践活动，具体过程如下： 方案设计：如图2，从获取的信息已知雕塑顶端到底座上边缘的距离AE为19.81 m，雕塑AE垂直于地面(点A，B，C，D，E均在同一平面内，AB⊥BD)，在地面上选取一点D测得∠ADB和∠CDB的度数. 数据收集：实地测量底 ... ...
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