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课件网) 1．利用数学归纳法证明不等式 在不等关系的证明中，方法多种多样，其中数学归纳法是常用的方法之一．在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，常常要与其他方法，如 、 、 、 等结合进行． 比较法 分析法 综合法 放缩法 2．归纳—猜想—证明的思想方法 数学归纳法作为一种重要的证明方法，常常体现在“归纳—猜想—证明”这一基本思想方法中．一方面可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论；更重要的是，要用不完全归纳法去发现某些结论、规律并用 证明其正确性，形成“观察—归纳—猜想—证明”的思想方法． 数学归纳法 [证明] (1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1， 左边>右边； 当n＝2时，左＝22＋2＝6，右＝22＝4，所以左边>右边； 当n＝3时，左＝23＋2＝10，右＝32＝9，所以左边>右边． 因此当n＝1,2,3时，不等式成立． (2)假设当n＝k(k≥3且k∈N＋)时，不等式成立． 当n＝k＋1时， 2k＋1＋2 ＝2·2k＋2 ＝2(2k＋2)－2>2k2－2 ＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3 ＝(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)(因k≥3，则k－3≥0， k＋1>0)≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2. 所以2k＋1＋2>(k＋1)2.故当n＝k＋1时，原不等式也成立． 根据(1)(2)，原不等式对于任何n∈N都成立． 利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n＝k到n＝k＋1的变形．为满足题目的要求，常常要采用 “凑”的手段，一是凑出假设的形式，便于用假设；二是凑出结论的形式，再证明． [例2] 设f(n)>0(n∈N＋)，对任意自然数n1和n2总有f(n1＋n2)＝f(n1)f(n2)，又f(2)＝4. (1)求f(1)，f(3)的值． (2)猜想f(n)的表达式，并证明你的猜想． [思路点拨] 利用f(n1＋n2)＝f(n1)f(n2)可求出f(1)，f(3)再猜想f(n)，利用数学归纳法给出证明． [解] (1)由于对任意自然数n1和n2， 总有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)． 取n1＝n2＝1，得f(2)＝f(1)·f(1)，即f2(1)＝4. ∵f(n)>0(n∈N＋)， ∴f(1)＝2. 取n1＝1，n2＝2，得f(3)＝23. (2)由f(1)＝21，f(2)＝4＝22，f(3)＝23， 猜想f(n)＝2n. 证明：①当n＝1时f(1)＝2成立； ②假设n＝k时，f(k)＝2k成立． f(k＋1)＝f(k)·f(1)＝2k·2＝2k＋1， 这就是说当n＝k＋1时，猜想也成立． 由①②知猜想正确，即f(n)＝2n. 利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：观察———归纳———猜想———证明．即先通过观察部分项的特点．进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进行证明． 4．在数列{an}、{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an、bn、an＋1 成等差数列，bn、an＋1、bn＋1成等比数列(n∈N＋)． (1)求a2、a3、a4及b2、b3、b4的值，由此猜测{an}、{bn}的通项公式； (2)证明你的结论． 解：(1)由条件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1. 由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2. (2)用数学归纳法证明：①当n＝1时，由上知结论成立． ②假设当n＝k时，结论成立． 即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2， 那么当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝ 2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)． bk＋1＝ ＝(k＋2)2. 所以当n＝k＋1时， 结论也成立． 由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立． ... ...
