2.7.2 向量的应用举例 同步练习（含答案）

2.7.2 向量的应用举例 同步练习 基础巩固训练（30分钟 50分） 一、选择题(每小题3分，共18分) 1.若向量=(1，1)，=(-3，-2)分别表示两个力F1，F2，则|F1+F2|为　(　　) A.　　　 B.2　　　 C.　　　 D. 【解析】选C.由于F1+F2=(1，1)+(-3，-2)=(-2，-1)，所以|F1+F2|= =. 2.在四边形ABCD中，·=0，且=，则四边形ABCD是　(　) A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 【解析】选C.由·=0，得AB⊥BC，又=，所以AB与DC平行且相等，从而四边形ABCD是矩形. 3.如图所示，一力作用在小车上且力F的大小为10N，方向与水平面成60°，当小车向前运动10m时，力F做的功为　(　　) A.100焦耳 B.50焦耳 C.50焦耳 D.200焦耳 【解题指南】先定位移，再求功. 【解析】选B.设小车位移为s，则|s|=10， WF=F·s=|F|·|s|·cos60°=10×10×=50(焦耳). 4.过点A(2，3)，且垂直于向量a=(2，1)的直线方程为　(　　) A.2x+y-7=0 B.2x+y+7=0 C.x-2y+4=0 D.x-2y-4=0 【解析】选A.设P(x，y)为直线上一点，则⊥a， 即(2-x)×2+(3-y)×1=0，即2x+y-7=0. 5.在△ABC中，AB=4，∠ABC=30°，D是边上的一点，且·=·，则·的值等于　(　　) A.-4 B.0 C.4 D.8 【解析】选C.由·=·得·(-)=·=0，即⊥，所以||=2，∠BAD=60°， 所以·=2×4×=4. 【变式训练】点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·=·=·，则点O是△ABC的　(　　) A.三个内角的角平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高的交点 【解析】选D.由·=·，得·=0，即⊥，同理可得⊥，⊥. 故点O是△ABC的三条高的交点. 6.在△ABC所在的平面内有一点P，满足++=，则△PBC与△ABC的面积之比是　(　　) A. B. C. D. 【解题指南】关键将面积之比转化为PC与AC之比求解. 【解析】选C.由++=，得+++=0，即=2，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示.故==. 二、填空题(每小题4分，共12分) 7.已知向量a表示“向东航行3km”，b表示“向南航行 3 km”，则a+b表示　　　　　. 【解析】作出图形可知. 知a+b表示向东南航行3km. 答案:向东南航行3km 【误区警示】本题易忽视a+b的物理意义，只关注数量而没有指出方向导致错误. 8.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，·=2，则·的值是　　　　. 【解题指南】选取一组不共线向量为基底，一般选取，，用这组向量表示题目中的其他向量进而用数量积公式求解. 【解析】由题干图知，在三角形ADP中=+=+， 在三角形BPC中=+=+=-， 所以·=· =-·-=2， 即25-·-×64=2，·=22. 答案:22 9.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB上的动点，则·的最大值为　　　　. 【解析】设与的夹角为θ， 则·=||·||cosθ， 而||cosθ就是向量在方向上的射影，要想让·最大，即让射影最大，此时E点与B点重合，射影为||，所以最大值为1. 答案:1 【变式训练】在边长为1的等边△ABC中，D为BC边上一动点，则·的取值范围是　　　　. 【解析】因为D在BC上，所以设BD=x，0≤x≤1，则=x. 所以·=·(+)=+· =1+xcos120°=1-x， 因为0≤x≤1，所以≤1-x≤1， 即·的取值范围是. 答案: 三、解答题(每小题10分，共20分) 10.如图所示，正方形ABCD中，P为线段BD上任一点，PECF为矩形，求证: (1)PA=EF. (2)PA⊥EF. 【证明】以D为坐标原点，DC，DA所在直线为x轴，y轴建立坐标系. 设C(1，0)，A(0，1)，P(x，x)， 则E(x，0)，F(1，x)， 故=(-x，1-x)，=(1-x，x)， (1)||==， ||==， 所以||=||， 所以PA=EF. (2)因为·=(-x)(1-x)+(1-x)x=0. 所以⊥，所以PA⊥EF. 11.如图，重力为G的均匀小球放在倾斜角为α的斜面上，球被与斜面夹角为θ的木板挡住，斜面、木板均光滑，若使球对木板压力最小，求木板与斜面间的夹角θ应为多大. 【解析】如图所示，小球重力为G(竖直向下)，设斜面对小球的压力为N ... ...