专题八—数学存在性问题 中考透视： 随着新课程改革的不断深入，中考数学试题也 不断推旧出新，“选拔性”和“能力性”兼容，命题由“知识型”立意向“能力型”、“素质型”立意转变，题型设计思路开阔、内容丰富、立意深刻、发人深省。存在性问题恰恰是这类试题中突出考查学生能力的典型代表，由于这类试题大多以函数图象为载体，来研究事物的存在性，理解起来比较抽象，涉及面较广，技能性和综合性也很强，解决起来有一定的难度，对知识的迁移能力，灵活运用能力和分析问题的能力要求很高，所以几年来一直是全国各地中考数学的压轴题目。 存在性问题的内涵： 存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存 在的问题,这类问题的知识覆盖面较广,综合性较强,题意构思非常精巧,解题方法灵活,对学生分析问题和解决问题的能力要求较高.存在性问题按定性可分为:肯定型和否定型.存在性问题在假设存在以后进行的推理或计算,对基础知识,基本技能要求较高,并具备较强的探索性.正确、完整地解答这类问题,是对我们知识、能力的一次全面的考验. 所谓存在性问题是指根据题目所给的条件，探究 是否存在符合要求的结论，存在性问题可抽象理解为“已知事项M，是否存在具有某种性质的对象Q”解题时要说明Q存在，通常的方法是将对象Q构造出来；若要说明Q不存在，可先假设Q存在，然后由此出发进行推论，并导致矛盾，从而否定Q的存在，此类问题的叙述通常是“是否存在……若存在，请求出……（或证明），若不存在，请说明理由。 存在性问题的种类： 定性分类： 1.肯定型存在性问题； 2.否定型的存在性问题。 定量分类： 1.数值存在性问题； 2.定值存在性问题； 3.极值存在性问题； 4.点存在性问题； 5.直线存在性问题； 6.三角形存在性问题； 7.平行四边形存在性问题； 8.圆的存在性问题； 9.时间存在性问题； 10.位置存在性问题； 11.变化存在性问题； 12.关联存在性问题。 数学思想： 主要是： 数形结合思想、 分类讨论思想、 特殊到一般的思想 解题技巧： 1、从数到形： 根据点的坐标特征， 挖掘发现特殊角或线段比 2、从形到数： 找出特殊位置，分段分类讨论 思维模式： 顺向思维 逆向思维 两头架线 中间碰火的思维 【解题策略】 不同的存在 性问题解法不同.下面按照解法及设问方式的不同将存在性问题分为代数方面的存在性问题(如方程根是否存在、最值是否存在等)、点的存在性问题(如构成特殊图形的点是否存在)并举例分析. (1)代数方面的存在性问题的解法思路是 :将问题看成求解题,进行求解,进而从有解或无解的条件,来判明数学对象是否存在,这是解决此类问题的主要方法. (2)点的存在性问题的解法思路是:假设存在→推理论证→得出结论.若能导出合理的结果,就做出“存在”的判断;若导出矛盾,就做出不存在的判断. 类型一 代数方面的存在性问题 例1 已知两条平行线l1,l2之间 的距离为6,截线CD分别交l1,l2于C,D两点,一直角的顶点P在线段CD上运动(点P不与点C,D重合),直角的两边分别交l1,l2与A,B两点. (1)操作发现: 如图(1),过点P作直线l3∥l1 ,作PE⊥l1,点E是垂足,过点B作BF⊥l3,点F是垂足.此时,小明认为△PEA∽△PFB,你同意吗 为什么 (2)猜想论证: 将直角∠APB从图(1)的位置开始,绕点P顺 时针旋转,在这一过程中,试观察、猜想:当AE满足什么条件时,以点P,A,B为顶点的三角形是等腰三角形 在图(2)中画出图形,证明你的猜想. (3)延伸探究: 在(2)的条件下,当截线CD与直线l1所夹的钝角为150°时,设CP=x.试探究,是否存在实数x,使△PAB的边AB的长为4 请说明理由. 【全解】(1)如图(1),由题意,得∠EPA+∠APF=90°,∠FPB+∠APF=90°, ∴∠EPA=∠FPB.又∠PEA=∠PFB=90°,∴△PEA∽△PFB. (2)如图(2),∵∠APB=90°,∴要使△PAB为等腰三角形,只能是PA=PB. 当AE=BF ... ...
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