1.2.3 同角三角函数的基本关系式

课件34张PPT。1.2 任意角的三角函数 1.2.3　同角三角函数的基本关系式 第一章 基本初等函数(Ⅱ)明目标 知重点填要点 记疑点探要点 究所然内容 索引010203当堂测 查疑缺 041.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式. 2.理解同角三角函数的基本关系式. 3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.明目标、知重点1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系： . (2)商数关系： .填要点·记疑点sin2α＋cos2α＝12.同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式： sin2α＝ ；cos2α＝ ； (2)tan α＝ 的变形公式： sin α＝ ；cos α＝ .cos αtan α1－cos2α1－sin2α探要点·究所然情境导学大家都听过一句话：南美洲亚马逊河雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风.这就是著名的“蝴蝶效应”，他本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.两个似乎毫不相干的事物，却有着这样的联系.那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！底是什么关系呢？这就是本节课所研究的问题.探究点一　同角三角函数的基本关系式思考1　写出下列角的三角函数值，观察他们之间的关系，猜想之间的联系？你能发现什么一般规律？你能否用代数式表示这两个规律？答　sin230°＋cos230°＝1，sin245°＋cos245°＝1，sin260°＋cos260°＝1，sin2150°＋cos2150°＝1；思考2　如何利用任意角的三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式？同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？答　sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α， (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，解　因为sin α<0，sin α≠－1， 所以α是第三或第四象限角.如果α是第三象限角，那么cos α<0.反思与感悟　同角三角函数的基本关系揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用.又sin2α＋cos2α＝1，②又α是第三象限角，探究点二　三角函数式的化简反思与感悟　解答此类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系.化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解.(4)关于sin α，cos α的齐次式的求值方法：①sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子，分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值.②若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值.跟踪训练2　已知tan α＝3，则1(2)sin2α－3sin αcos α＋1＝ .1探究点三　三角恒等式的证明∴原等式成立.方法二　∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α. ∴cos2α＝(1－sin α)·(1＋sin α).∴原等式成立.∵左边＝右边， ∴原等式成立.反思与感悟　证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异，有目的地进行化简. 证明三角恒等式的基本原则：由繁到简.常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证. 常用技巧：切化弦、整体代换.∴原式成立.∴左边＝右边，原等式成立.当堂测·查疑缺 1234cos 40°－sin 40°1234解析　由α是第三象限的角，得到cos α<0，1234解　∵α是第三象限角，∴sin α<0， 由三角函数线可知－1