《 §24.1.5（补充）与圆有关的角的综合 》教学设计 教学设计：洪建明 学习目标 1、熟练掌握弧、弦、圆心角、圆周角直接按的关系及圆心角、圆周角定理及相关推论； 2、理解并能灵活运用弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系进行角的转换和计算。 一、导学探究 知识概述 一、圆心角： 1、 的角叫圆心角. 2、圆心角定理：在 中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 也相等； 3、圆心角定理推论： 在同圆或等圆中，两个 、两条 、两条 、两条弦的 中有一组量相等，其余各组量都相等。 二、圆周角 1、顶点在 ，两条边 的角叫做圆周角． 2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 ． 3、圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角 ；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 ． 推论2： (或 )所对的圆周角等于90°；90°的圆周角所对的弦是 ． 4、圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角 ． 推论：圆内接四边形的任何一个外角等于它的 ． 二、精讲多动 一、加深理解 1、对圆周角的理解 ①如图，∠AOB与∠ACB是对的圆心角与圆周角，故有：∠ACB＝ ∠AOB，反之∠AOB＝ ∠ACB． ②定理的作用是勾通圆心角，圆周角之间的数量关系． 2、对圆周角定理的两个推论的理解(1)推论1： ①是圆中证角相等最常用的方法之一． ②若将推论1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立了．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，一般情况不相等(如图中的∠1与∠2)． ③推论1中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”，离开这个前提条件， 结论不成立(如图中的)． ④联系圆心角定理推论可得：在同圆或等圆中， (2)推论2应用广泛，一般地，如果题目中有直径时，往往作出直径上的圆周角———直角；如果需要直角或证明垂直时，也往往作出直径即可解决问题，推论也是证明弦是直径常用的办法． 3、对圆的内接四边形定理的理解 (1)“内对角”是圆内接四边形的专用名词，是指与四边形的一个外角相邻的内角的对角． (2)定理的另一个含义是对角和相等(都为180°)． (3)定理是证明与圆有关的两角相等或互补关系的重要依据． (4)使用定理时，要注意观察图形，不要弄错四边形的外角和它的内对角的位置． 二、解题方法技巧点拨 1、圆心角和圆周角之间的换算 例1、已知：如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于P，且∠APD＝60°，∠COB＝30°，求∠ABD的度数． 例2、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，以AB为直径的半圆交AC于D，交BC于E．求所对圆心角的度数． 点评：(1)辅助线AE，构造了“直径上的圆周角是直角”的基本图形，因此在关于直径的问题中，常添辅助线使之构成直角三角形．即有直径，得直角. (2)本题还有副产品BE＝EC，你注意了吗？该副产品有时很有用． 仿解：如图，BC为半圆O的直径，点F是弧BC上一动点（点F不与B、C重合），A是弧BF上的中点，设∠FBC＝α, ∠ACB＝β. ⑴当α＝50°时，求β的度数。 ⑵猜想α与β之间的关系，并给与证明。 2、 圆内角、圆外角、圆周角之间的运算题 圆内角：角的顶点在圆内的角叫做圆内角． 圆外角：角的顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角． 例3、如图，圆的弦AB、CD延长线交于P点，AD、BC交于Q点，∠P＝28°， ∠AQC＝92°，求∠ABC的度数． 分析：圆内角和圆外角都是通过圆周角建立联系，故圆内角∠AQC与圆外角∠P可通过圆周角∠ABC(∠ADC)与∠A(∠C)建立起联系。 点评： ⑴圆内角与圆外角都通过圆周角建立联系． ⑵同弧对的圆内角、圆外角、圆周角之间的大小关系是：圆内角＞圆周角＞圆外角． ⑶圆内角等于它所对弦对的圆 ... ...
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