因式分解 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 因式分解 因式分解是中学代数课程的一种重要的恒等变形，不仅在后面的分式通分、约分时有着直接的应用，而且在解方程以及将三角函数式变形时，也经常用到它，也正是因为因式分解以其广泛的应用性在初中数学中占有特殊重要地位，所以学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。 二. 重、难点： 1. 理解因式分解的意义 2. 掌握因式分解的方法———提公因式法、公式法。 三. 知识要点： 1. 因式分解的意义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式。 1）因式分解是一种恒等变形，其是否正确，可以用整式乘法检验，看乘得的结果是否等于原多项式。 2）因式分解强调的结果是整式的积的形式，是一种形式上的恒等变形。 3）因式分解的结果要求，是必须进行到每个因式都不能再分解为止，要注意要求在何种数集内进行因式分解。 4）并不是所有多项式在任何数集内都能因式分解。 2. 因式分解的基本方法 1）提公因式法。形如 2）运用公式法： 平方差公式： 完全平方公式： 3. 因式分解中的四大注意 1）首项有负常提负； 2）各项有“公”先提“公”； 如：把分解因式。 解：原式=== 这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如 的错误（错在哪里？）； 这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式。 3）某项提出莫漏1， 4）括号里面分到“底”。 如：把分解因式。 解：原式= 这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉“1”。防止学生出现诸如： 的错误（错在哪里？）。 这里的“底”，指分解因式，必须指定数域范围内进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如： 的错误（错在哪里？）。 4. 因式分解中的六项错误 1）概念不明确，没有把一个多项式从整体上都化成整式相乘。 如：分解因式 误解：原式= b(b－ 2)－ 3 正解：原式=(b+1)(b－ 3) 2）解不彻底，没有在给定的范围内，分解到不能再分解不止。 如：分解因式x３+２x2－ ３x 误解：原式=x(x2+２x－ ３) 正解：原式= x(x2+２x－ ３)= x(x+3)(x－ 1) 3）步骤混乱，有公因式而不先提。 如：分解因式4－ 36x2 误解：原式=(2+6x)(2－ 6x) 正解：原式=4(1－ 9x2)=4(1+3x)(1－ 3x) 4）方法错误，有公因式而没提尽 如：分解因式a(x－ y)2－ a2(y－ x) 误解：原式=a[(x－ y)2－ a(y－ x)]= a(x2－ 2xy+y2－ ay+ax)] 正解：原式= a(x－ y)2+a2(x－ y)＝a(x－ y) [(x－ y)+a]= a(x－ y)(x－ y+a) 5）当公因式即为某一项时，提后漏项而没补位。 如：分解因式3x2－ 6xy+x 误解：原式=x(3x－ 6y) 正解：原式=x(3x－ 6y+1) 6）不能正确运用公式，分组没有明确的目标即盲目分组。 如：分解因式1－ x2－ y2+2xy 误解：原式=(1+x)(1－x)－ y(y－ 2x) 正解：原式=1－ (x2－ 2xy+y2)=1－ (x－ y)2=(1+x－ y)(1－ x+y) 当然“搞错符号”也是初学者常见的错误之一，在这就不一一列举。要减少这些错误，我们应进一步明确因式分解的的概念，深刻认识因式分解与整式乘法的互逆关系，熟练掌握因式分解的基本方法及掌握基本方法的灵活运用，这样才能尽可能避免这些错误。 【典型例题】 一. 提公因式法 例1. 因式分解下列各式 ① ② ③ ④ 分析：①②找公因式的方法是：系数取各项系数的最大公约数，字母取相同字母的最低次幂；③中（a－b）与（b－a）只 ... ...
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