2.2 一次函数和二次函数 自主整理 1.一次函数 (1)定义: 函数y=kx+b(k≠0)叫做一次函数,又叫线性函数;它的定义域为R,值域为R. (2)性质: ①函数的改变量y2-y1与自变量的改变量x2-x1的比值等于常数k;k的大小表示直线与x轴的倾斜程度; ②当k>0时,一次函数为增函数,当k<0时,一次函数为减函数; ③当b=0时,一次函数为正比例函数,是奇函数;当b≠0时,一次函数既不是奇函数也不是偶函数; ④直线y=kx+b(k≠0)与x轴的交点为(,0),与y轴的交点为(0,b). 2.二次函数 (1)定义: 函数y=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函数,它的定义域为R. (2)性质:①函数的图象是一条抛物线,它的顶点坐标为(,),它的对称轴为x=. ②当a>0时,抛物线开口向上,函数在x=处取得最小值,在区间(-∞,］上是减函数,在区间［,+∞)上是增函数. ③当a<0时,抛物线开口向下,函数在x=处取得最大值,在区间［,+∞)上是减函数,在区间(-∞,］上是增函数. ④当二次函数图象的对称轴与y轴重合即b=0时二次函数为偶函数,否则既不是奇函数也不是偶函数. ⑤在y=ax2(a≠0)中,若a>0,a越大,抛物线的开口越小,a越小,抛物线的开口越大;反之,若a<0,a越大,抛物线的开口越大,a越小,抛物线的开口越小.总之,y=ax2(a≠0)中,若|a|越大,抛物线的开口越小,|a|越小,抛物线的开口越大.(3)三种形式: ①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0),其中a是开口方向与大小,c是y轴上的截距,而是对称轴. ②顶点式(配方式):f(x)=a(x-h)2+k(a≠0), 其中(h,k)是抛物线的顶点坐标.h=,k=. ③两根式(因式分解):f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1、x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标. 3.待定系数法 如果知道一个函数的一般形式,可先把所求函数写为一般形式,其中系数待定,然后再根据题设条件求出这些待定系数,这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法称为待定系数法.高手笔记 1.常数函数是较为特殊的函数,原因在于在函数解析式y=b中没有出现自变量x.其实常数函数就是一个多对一的映射.注意:当a=0时,函数y=ax2=0是一个常数函数,其图象即为x轴. 2.式子x=a(a是一固定常数)虽然含有x,但不能称其为函数,原因在于一个x对应无穷多个y,不符合函数的定义,应将其与y=b区别开来. 3.二次函数是重要的基础函数,必须作为重点内容来掌握.应从解析式、定义域、值域、图象、单调性、奇偶性几个方面的内容进行把握. 4.解决二次函数的问题一定要牢牢树立数形结合的思想,通过对函数图象的分析寻找解决问题的思路和分类讨论的依据. 名师解惑 1.如何认识与理解常数函数？ 剖析:要全面认识一个函数,主要从解析式、定义域、值域、单调性、奇偶性等五个方面来认识,对于常数函数\ 解析式:当k=0时,y=kx+b就变成了y=b,这就是常数函数的解析式,其中b是某一固定常数.这个解析式的特点在于没有出现自变量x,这也是许多同学对常数函数感到难于理解的原因. 定义域:自变量x可以取任意实数.解析式中没有出现x,说明解析式对x没有要求,可以取任意实数. 值域:常数函数的值域为{b}.常数函数只有一个函数值b,就是说不论自变量怎么取值,都对应同一个函数值b. 图象:因为不论自变量x取什么值都对应一个函数值b,所以函数图象是平行于x轴的水平直线(特殊情况是x轴). 单调性:因为函数值是固定的常数b,没有增减变化,函数图象也是一条水平的直线,没有起伏变化,所以常数函数在定义域上没有单调性. 奇偶性:定义域为R,并且f(-x)=f(x)=b,所以一定是偶函数.如果b=0则既是奇函数又是偶函数. 2.如何由函数y=x2的图象变化得到函数y=a·x2(a≠0)的图象？又如何由函数y=ax2(a≠0)的图象变化得到y=a(x+h)2+k(a≠0)的图象？再如何由函数y=ax2(a≠0)的图象得到函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象？ 剖析:(1)二次函数y=a·x2(a≠0)的图象可由y=x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到,而横坐标保持不变. (2)二次函数y=a ... ...
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