课堂导学 三点剖析 一、给出函数模型的问题 【例1】某民营企业生产A、B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图(1),B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图(2).(注:利润与投资单位:万元) (1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式,并写出它们的函数关系式.(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A、B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元(精确到1万元) 解析：(1)设投资为x万元,A产品的利润为f(x)万元,B产品的利润为g(x)万元, 由题设f(x)=k1x,g(x)=k2, 由图知f(1)=, ∴k1=. 又g(4)=,∴k2=. 从而f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0). (2)设A产品投入x万元,则B产品投入10-x万元.设企业利润为y万元. y=f(x)+g(10-x) =+, ∴0≤x≤10.令=t,则y=+t=(t)2+(0≤t≤). 当t=时,ymax=≈4,此时x=10=3.75. 答:当A产品投入3.75万元,B产品投入6.25万元时,企业获得最大利润约4万元. 温馨提示 本问题一般有三类: (1)直接给出函数解析式;(2)给出函数图象,根据图象上的关键点求出解析式; (3)给出函数类型,自己设出解析式,利用待定系数法求出解析式. 二、构造函数模型 【例2】按复利计算利率的一种储蓄,本金为a元,每期利率为r,设本利和为y,存期为x,写出本利和y随存期x变化的函数式.如果存入本金1000元,每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和是多少 思路分析：复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起作本金,再计算下一期的利息.解：已知本金为a元, 1期后的本利和为y1=a+a×r=(1+r)a; 2期后的本利和为y2=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2; 3期后的本利和为y3=a(1+r)3; … x期后的本利和为y=a(1+r)x, 将a=1000,r=2.25%,x=5代入上式得 y=1000(1+2.25%)5=1000×1.02255. 由计算器算得y=1117.68(元). 答:函数式为y=a(1+r)x,5期后的本利和为1117.68元. 温馨提示 在实际问题中,常常遇到有关平均增长率的问题,如果原来产值的基础为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值或总产量y,可以用公式y=N(1+p)x表示.解决平均增长率的问题,要用到这个函数式. 三、函数模型的综合应用 【例3】如下图，河流航线AC段长40千米，工厂B位于码头C正北30千米处，原来工厂B所需原料由码头A装船沿水路到码头C后，再改陆运到工厂B,由于水运太长,运费颇高,工厂B与航运局协商在AC段上另建一码头D,并由码头D到工厂B修一条新公路,原料改为按由A到D再到B的路线运输,设|AD|=x千米(0≤x≤40),每10吨货物总运费为y元,已知每10吨货物每千米运费水路为1元,公路为2元. (1)写出y关于x的函数关系式; (2)要使运费最省,码头D应建在何处 思路分析：依题意,每10吨货物总运费y为从A到D的水路运费与从D到B的陆路运费之和,因|AD|=x千米,水路运费为(x·1)元,陆路长度由勾股定理求得,陆路运费为(·2)元,不难建立y与x的函数关系式. 解：(1)由题意|BD|=, 易得每10吨货物总运费 y=x+2,0≤x≤40. (2)由(1)得y-x=2. 两边平方,得(y-x)2=4(2500-80x+x2). 整理得3x2-2(160-y)x+10000-y2=0.① Δ=4(160-y)2-4×3×(10000-y2)≥0. 解得y≥40+30或y≤40-30(舍去).此时,将y=40+30代入方程①,得 x=40-10∈［0,40］. ∴当x=40-10时,y取最小值, 即当码头建在AC段上与A相距(40-10)千米时,可使运费最少. 温馨提示 (1)对于应用问题中所提出的问题,要认真领会、理解,要注意观察问题的结构特征,揭示内在联系,挖掘隐含条件,根据实际问题准确地得到函数关系式,进而利用有关的数学知识和函数性质实施解题. (2)对于本题要注意用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系,寻找已知量与未知量之间的内在联系,然后将这些内在联系与数学知识联系建立函数关系式或列出方程,利用函数性质或方程观点来解,则可使应用问题化生为熟,尽快得到解决 ... ...
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