第二章 推理与证明 专题1 2.1.1合情推理 1．在数列中，，，，试猜想这个数列的通项公式． 2．观察下列各式： ； ； ； …… （1）计算：的值； （2）计算：的值； （3）猜想：的值． 3．如图所示，把1，3，6，10，15，…这些数叫作三角形数，这是因为这些个数的点可以排成一个正三角形，试猜想第个三角形数． 4．观察如下数表： 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 …… 求：（1）这个表的第行里的最后一个数字是多少？ （2）第行各数字之和是多少？ 5．已知，，观察下列运算： ； ； …… 定义使为整数的叫做“希望数”，求区间内所有的“希望数”的和． 6．通过计算可得下列等式： ； ； ； …… ； 将以上各式分别相加得：，即． 类比上述求法：请你求出的值（要求必须有运算推理过程）． 7．观察下表： 1， 2，3 4，5，6，7 8，9，10，11，12，13，14，15， …… 问：（1）此表第行的最后一个数是多少？ （2）此表第行的各个数之和是多少？ （3）2017是第几行的第几个数？ 8．在各项均为正数的数列中，其前项和满足． （1）求，，； （2）由（1）猜想数列的通项公式； （3）求． 9．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． ①；②； ③；④； ⑤． （1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； （2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 1． 【解析】由已知，得，，，，…， 所以猜想数列的通项公式为． 2．（1）；（2）；（3）． 【解析】通过观察前三个式子，规律如下：左边第项为，右边第一项为，第二项，第三项分别为，，故． （1）． （2）． （3）． 3．第个三角形数为． 【解析】三角形数是从开始的连续自然数的和． 是第一个三角形数； 是第二个三角形数，； 是第三个三角形数，； 是第四个三角形数，； 是第五个三角形数，； …… 那么，猜想第个三角形数为：． 4．（1）；（2）． 【解析】（1）每行的最后一个数字构成等差数列，，，，…，故第行的最后一个数字是． （2）第行的第个数字为，第行的各数字构成等差数列，，，…，，共个数，其和为． 5．区间内所有的“希望数”的和为． 【解析】因为，， 所以， 所以， 由于，， 所以区间内所有的“希望数”的和为． 6．． 【解析】； ； ； …… ； 将以上各式分别相加得：， 所以． 7．（1）；（2）；（3）第行的第个数． 【解析】（1）因为第行的第个数是， 所以第行的最后一个数是． （2）第行的各个数为，，，…，， 所以， 故此表第行的各个数之和是． （3）因为，，， 所以在第行，该行第个数是， 由，知是第行的第个数． 8．（1）；，；（2）；（3）． 【解析】（1）当时，，即，解得． ∵，∴． 当时，，即． ∵，∴． 同理可得． （2）由（1）猜想． （3）． 9．（1）；（2），证明见解析． 【思路分析】（1）选择②求常数相对容易，可直接利用二倍角公式和同角三角函数的基本关系，结合特殊角的三角函数值求得答案；（2）根据（1）的计算结果，可得三角恒等式为：，进而根据两角差的余弦公式展开化简即可得证． 【解析】（1）由②得，故所求常数为． （2）三角恒为等式：． 证明如下： 专题2 2.1.2演绎推理 1．用三段论证明：通项公式为(，为常数)的数列是等差数列． 2．将下列演绎推理写成“三段论”的形式． （1）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行； （2）菱形的对角线互相平分； （3）函数是偶函数． 3．用三段论证明：． 4．求证：若三角形的三内角，，对应的边分别为，，，且，，成等差数列，，，成等比数列，则是正三角形．并分析在证明过程中用了几次三段论，分别写出每次三段论的大前提、小前提与结 ... ...
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