高中数学苏教版必修四课时训练：2.2　向量的线性运算2.2.3

2．2.3　向量的数乘 课时目标 1．掌握向量数乘的定义.2.理解向量数乘的几何意义.3.了解向量数乘的运算律.4.理解向量共线的条件． 1．向量数乘运算 实数λ与向量a相乘，叫做向量的_____，记作_____，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝_____. (2)λa (a≠0)的方向； 特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝_____或λ0＝_____. 2．向量数乘的运算律 (1)λ(μa)＝_____. (2)(λ＋μ)a＝_____. (3)λ(a＋b)＝_____. 特别地，有(－λ)a＝_____＝_____； λ(a－b)＝_____. 3．向量的线性运算 向量的_____与向量的_____、_____统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝_____. 4．向量共线定理 如果有一个实数λ，使_____(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ使b＝λa. 一、填空题 1．若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量y＝_____. 2．已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，且＝x＋y，则x＋y＝_____. 3．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则k＝_____. 4．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是_____． 5．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且＋＋＝，则点P与△ABC的关系为_____．(填序号) ①P在△ABC内部； ②P在△ABC外部； ③P在AB边上或其延长线上； ④P在AC边上． 6. 如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝_____.(填写正确的序号) ①－＋；②－－；③－； ④＋. 7. 如图所示，在ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝_____.(用a，b表示) 8．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝_____. 9．在△ABC中，点D在直线CB的延长线上，且＝4＝r＋s，则r－s＝_____. 10．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝_____. 二、解答题11．两个非零向量a、b不共线． (1)若A＝a＋b，B＝2a＋8b，C＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线； (2)求实数k使ka＋b与2a＋kb共线． 12. 如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD. 求证：M、N、C三点共线. 能力提升 13．已知O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的_____．(填序号即可) ①外心；②内心；③重心；④垂心． 14．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝_____.(用a，b表示) 1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的． 2．λa的几何意义就是把向21世纪教育网21世纪教育网量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量表示与向量a同向的单位向量． 3．共线向量定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题． 2．2.3　向量的数乘 知识梳理 1．数乘　λa (1)|λ||a|　(2)λ>0　λ<0　0　0 2．(1)(λμ)a　(2)λa＋μa　(3)λa＋λb　－(λa)　λ(－a)　λa－λb 3．数乘　加法　减法　λμ1a±λμ2b 4．b＝λa 作业设计 1.a－b＋c 2．1 解析　∵A，B，C三点共线， ∴ λ∈R使＝λ. ∴－＝λ(－)． ∴＝(1－λ)＋λ. ∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1. 3. 解析　当k＝时，m＝－e1＋e2，n＝－2e1＋e2. ∴n＝2m，此时，m，n共线． 4．A、B、D 解析　∵＝＋＝2a＋4b＝2， ∴A、B、D三点共线． 5．④ 解析　∵＋＋＝－， ∴＝－2，∴P在AC边上． 6．① 解析　－＋＝＋ ＝＋＝. 7.(b－a) 解析　＝＋＋ ＝－b－a＋ ＝－b－a＋(a＋b) ＝(b－a)． 8．3 解析　∵＋＋＝0， ∴点M是△ABC的重心． ∴＋＝3，∴ ... ...