25.1 比例线段 学习目标： 学习并掌握比例线段的相关概念并学会运用. 掌握比例的性质，并能够运用比例的性质求值. 了解黄金分割的意义. 学习重点：比例线段的概念及性质. 学习难点：黄金分割的运用. 知识链接 1 .已知线段AB和CD的长度分别是2cm,6cm,则AB和CD的比是_____,表示为_____. 2.小学里已学过了比例的有关知识，那么，什么是比例？怎样表示比例？说出比例中各部分 的名称，比例的基本性质是什么？ 新知预习 观察如图所示的三个长方形，你认为哪两个长方形的大小不同但形状相同？理由是什么？ 如果选用同一长度单位，图中每个长方形的长和宽分别是a、b，则可得 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即我们就把这个四条线段叫做成比例线段，简称比例比例线段，此时也成这四条线段成比例. 可知图中____，____，____，____是成比例线段，____，____，____，____不是成比例线段. 三、自学自测 1.已知四条线段a，b，c，d的长度，试判断它们是否成比例？ (1)a＝16cm，b＝8cm，c＝5cm，d＝10cm；(2)a＝8cm，b＝5cm，c＝6cm，d＝10cm. 四、我的疑惑 _____ _____ 要点探究 探究点1：成比例线段 例1：下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A.3cm，4cm，5cm，6cm B.4cm，8cm，3cm，5cm C.5cm，15cm，2cm，6cm D.8cm，4cm，1cm，3cm 【归纳总结】判断四条线段是否成比例的方法：（1）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等做出判断；（2）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断. 【针对训练】 1.已知：四条线段a、b、c、d，其中a＝3cm，b＝8cm，c＝6cm. （1）若a、b、c、d是成比例线段，求线段d的长度； （2）若b、a、c、d是成比例线段，求线段d的长度. 在比例尺为1：50 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm，则甲、乙两地的实际距离是 m. 思路分析：根据比例尺=图上距离/实际距离，列方程求解. 探究点2：比例的性质 比例的基本性质 问题1：如果a,b,c,d四个数满足,那么ad和bc相等吗？并说明理由 答：_____. 理由如下： ∵b≠0，d≠0，∴bd_____0. ∴在等式两边同时乘以bd，得_____. 即若，则ad=bc. 问题2：试说出问题1中结论的逆命题，它是真命题吗？如何证明？ 逆命题是：如果ad=bc,那么_____. 请仿照问题1证明： 【归纳】比例的基本性质： 如果ad=bc,那么_____(b,d≠0). 例2：已知＝，求的值. 解：解法1：由比例的基本性质， 得_____. ∴a＝____b，∴＝____. 解法2：(倒数法)由＝，得_____＝7， ∴_____，∴＝_____. 【归纳总结】利用比例的基本性质，把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法. （二）等比的性质 我们知道，由 试猜想： 并证明你的猜想. 【针对训练】 1.已知a：b：c＝3：4：5，求的值. 2.已知＝＝＝2，且b＋d＋f≠0，求的值. 3.若a，b，c都是不等于零的数，且＝＝＝k，求k的值. 探究点3：黄金分割 问题： 1.如图，在五角星图案中，用刻度尺分别测量线段AC、BC的程度，然后计算，它们的值相等吗？ 已知线段AB的长度为1个单位，在线段AB上找一点C，使较短的线段BC与较长的线段AC的比等于AC与原线段的比，即使成立，求此时线段AC的长. 3.你能在线段上画出点C的大概位置吗？这样的点有几个？ 【归纳】在线段AB上有一点C，如果点C把AB分成的两条线段AC和BC满足，那么称线段AB被点C黄金分割，点C称为线段AB的黄金分割点，AC/AB称为黄金分割点. 例3：已知M是线段AB的黄金分割点，MA是被分线段AB中较长的线段，且MA＝－1，求原线段AB的长. 【归纳总结】把一条线段黄金分割后，原线段、较长线段、较短线段 ... ...
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